88、滑动窗口下的MAX和MIN评估及数据流频繁闭项集挖掘

滑动窗口下的MAX和MIN评估及数据流频繁闭项集挖掘

在数据处理和分析领域，滑动窗口下的最大值（MAX）和最小值（MIN）评估以及数据流频繁闭项集挖掘是两个重要的研究方向。下面将详细介绍相关的理论、算法和实验结果。

滑动窗口下的MAX和MIN评估

在评估滑动窗口下的MAX和MIN时，有一个重要的概率表达式：$P{\Phi(i) = 1}$，其进一步特征描述如下，可得$E{NRE} \leq 1 + \ln n$。具体表达式为：
$P{\Phi(i) = 1} = \sum_{k = 1}^{\infty} p_k \cdot F_{n - i}^{k - 1} \leq \frac{1}{n - i + 1}$

有一个重要定理指出，算法1和算法3的期望均摊时间复杂度均为$O(w)$，其中$w$是滑动窗口的数量。以下是该定理的证明：
在算法1中，对于每个到达的元素，需要从示例草图中删除不大于该到达元素的元素。每个到达的元素都会进入示例草图，如果它不大于后续到达的元素，将由算法1从示例草图中删除；或者因过期由算法3删除。平均而言，算法1只需删除不超过一个元素，因此期望均摊时间复杂度为$O(w)$。同样，算法3的期望均摊时间复杂度也为$O(w)$。

为了测试示例草图的性能，进行了一系列实验。实验在配备1.4 GHz奔腾IV CPU和2G内存、运行RedHat Enterprise Linux Advanced Server的计算机上进行，使用GNU科学库生成三组数据：
- 第一组数据在$[1, 1000]$上均匀分布。
- 第二组和第三组数据分别呈正态分布，标准差$\sigma$分别为1（高度偏斜数据）和2（轻度偏斜数据）。