gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

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本文详细证明了当a和b互质时，gcd(a,b)等于gcd(a-b,b)和gcd(a-2b,b)等的性质，通过gcd(A-B,B)的特殊情况k=1来推导。关键步骤展示了如何利用基本的数论原理和互质条件简化计算。

设gcd(a,b)=m;
a=Am,b=Bm，其中A,B互质；
a-b=m(A-B),于是gcd(a-b,b)=m;
简单证明：
设gcd(A-B,B)=k;
k|A-B,k|B;
==>K|A,k|B,又因为gcd(A,B)=1;
所以k=1;
gcd(a,b)=gcd(a-b,b);

//
gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
证明gcd(a,b)=gcd(a-b,b)=gcd(a-2b,b)=gcd(a-nb,b);
又a-nb=r;
所以gcd(a,b)=gcd(a-b,b)=gcd(b,a%b);

数学方法证明辗转相除法（欧几里得算法）：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
一路上这个人的脚印
09-23 2175
标题证明辗转相除法（欧几里得算法）：gcd(a,b)=gcd(b,a%b) 1、首先 设gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=d 2、 构造k与c 得到a=kb+c     其中c=a%b k=⌊ab⌋\lfloor\frac{a}{b}\rfloor⌊ba​⌋     证明gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=d 的问题转化为证明 gcd(a,b)=gcd(b,c)=d 则有 a=⌊ab⌋\lfloor\frac{a}
GDUT ACM2022寒假集训 专题四 A D（欧几里得/扩展欧几里得算法）（gcd/exgcd）
qq_25169787的博客
02-23 574
一、欧几里得算法（gcd） 欧几里得算法又称辗转相除法，是指用于计算两个非负整数a，b的最大公约数。应用领域有数学和计算机两个方面。计算公式gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)。——百度百科 欧几里得算法用于求两个数的最大公约数，在数论类题目中比较常见 long long gcd(long x, long y)//辗转相除法求最大公约数（x>y） { return (y == 0) ? x : gcd(y, x % y);//x/y=q...r //（x,y）=(y,r) x
辗转相除法gcd(a,b)
mikimikibalala的博客
03-12 1039
辗转相除法的基本原理是：两个数的最大公约数等于它们中较小的数和两数之差的最大公约数。例如，252和105的最大公约数是21（252 = 21 × 12；105 = 21 × 5）；因为252 − 105 = 147，所以147和105的最大公约数也是21。在这个过程中，较大的数缩小了，所以继续进行同样的计算可以不断缩小这两个数直至其中一个变成零。这时，所剩下的还没有变成零的数就是两数的最大公约
Problem A: gcd(a,b)
QQ3503814312的博客
05-07 1321
Problem Description 编写函数 gcd(m, n) 来计算整数 m 和 n 的最大公约数。测试程序为： #include <stdio.h> int gcd(int m, int n); int main() { int a, b; while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) { printf("%d\n", gcd(a, b)); } return 0; }/* 你的代...
与数论的厮守05:gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)的证明
weixin_34245169的博客
06-26 1417
\[ 设c=gcd(a,b)，那么a可以表示为mc，b可以表示为nc的形式。然后令a=kb+r，那么我们就\\ 只需要证明gcd(b,r)=c即可。{\because}r=a-kb=mc-knc，{\therefore}gcd(b,r)=gcd(nc,mc-knc)\\ =gcd(nc,(m-kn)c)，所以我们只需要证gcd(n,m-kn)=1即可。\\ 设n=xd,m-kn=yd，那么m=kn...
gcd(a,b)，求两个数最大公约数
03-30
求两个数最大公约数，利用欧几里德算法，辗转相除法。详细内容看资料，留作备份。
gcd.rar_a to b
09-24
标题 "gcd.rar_a to b" 暗示了这是一个关于计算两个整数A和B的最大公约数（Greatest Common Divisor, GCD）的压缩包文件。描述中提到 "to get GCD(A,B)，and no recursion" 表明这个实现避免了使用递归算法。标签 "a...
gcd.rar_gcd_gcd.a_公约数
09-24
标题 "gcd.rar_gcd_gcd.a_公约数" 暗示了这是一个关于计算两个数的最大公约数（Greatest Common Divisor, GCD）的程序，可能是用某种编程语言实现的，例如C、C++或Python。文件名 "gcd.a" 可能是程序的可执行文件或...
B - GCD Subtraction
海边拾贝，沧海一粟
04-12 1074
【代码】B - GCD Subtraction。
证明：当gcd(a,b)=1，gcd(a,a-b)=1
CS171_chengl的博客
03-19 2233
证明1：当gcd(a,b)=1,时gcd(a,a−b)=1gcd(a,b)=1,时gcd(a,a-b)=1gcd(a,b)=1,时gcd(a,a−b)=1 反证法证明： 假设gcd(a,b)≠1,则令d=gcd(a,a−b)>1gcd(a,b)\neq1,则令d=gcd(a,a-b)>1gcd(a,b)​=1,则令d=gcd(a,a−b)>1 根据最大公约数的性质，d∣a且d∣...
*gcd（a,b）==a^b
楚天千里清秋，水随天去秋无际
01-20 2818
Given an integer N, and how many pairs (A;B) are there such that: gcd(A;B) = A xor B where 1 这道题套路太深，用了一个我从来没见过的结论。 这个结论是这样的： 要使得gcd（a，b）==  a^b，则gcd（a，b）==a - b==a^b；（假设a>b） 证明这个结论：（看其他dalao的证明的）
Euclid算法与RSA
tattarrattat的专栏
03-01 1575
历史上第一个称得上算法的好像就是这个欧几里得算法，其实就是地球人都知道的辗转相除，不要小看她，她是很美的。简单的描述就是，记gcd(a,b)表示非负整数a,b的最大公因数，那么：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)或者gcd(a,0)=gcd(0,a)=a。写成程序很简单，不管是用递归还是循环：int gcd(int a,int b){        if(a==0)      
gcd、lcm、ax+by=gcd(a , b)、ngcd、nlcm
CC_且听风吟丶的博客
02-11 813
（1）辗转相除法（欧几里得算法）gcd 最大公因数 ，最大公约数 int gcd(int a,int b) { return b==0?a:gcd(b,a%b); } （2）最小公倍数lcm int gcd(int a,int b) { return b==0?a:gcd(b,a%b); } int lcm(int a,int b){ return a/gcd(a,b)*b; ...
gcd(a,b) 复杂度证明
weixin_30294295的博客
03-11 556
(b,a%b) a%b<=min(b,a%b)/2 a>=b时每次至少缩减一半 a<b时下次a>b 所以复杂度最多2log(max(a,b)) 证明:a%b<=min(a,a%b)/2 a>b时 b<=a/2 那么a%b<b<=b<=a/2 a>b时 b>a/2 那么a%b=a-b<=a/2 a<b时 a%b=a...
求a和b的最大公约数 gcd(a ,b)= gcd(b, a%b) 例：gcd(36,24) =gcd(24, 12 ) =gcd(12, 0 )
qq_20314133的博客
01-14 2111
求a和b的最大公约数 gcd(a ,b)= gcd(b, a%b) 例：gcd(36,24) =gcd(24, 12 ) =gcd(12, 0 )//main.c //author：yangyang #include "stdafx.h" #define A 65 #define B 182 int min(int a, int b); int max(int a, int b)
gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
Weng Shihao's blog
02-20 1857
gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
超牛逼gcd（a，b）
恁村扛把子的博客
05-13 472
#include<iostream> using namespace std; #include<algorithm> int main() { int a, b; cin >>a >> b; cout<< __gcd(a,b); return 0; }
CFDIV2 C. Neko does Maths //gcd(a,b)=gcd(b−a,a)
Rshs
04-29 377
CF C. Neko does Maths //gcd(a,b)=gcd(b−a,a) 题意：给a和b，求a和b加上一个k之后的最小lcm 官方题解： gcd(a+k,b+k)=gcd(b−a,a+k) 因为gcd(a,b)=gcd(b%a,a) 然后枚举因子，枚举因子日常枚举根号(b-a)即可。 VC的时候想到了和b-a有关，却又想不清楚影响答案的只有b-a的因子。明白这个定...
gcd 求最大公因数和最小公倍数
ouyunfeng的博客
08-27 1008
重复以上操作，因为函数中第二个参数不断减小，所以最后会得到。先用辗转相除法求gcd(a,b)，也就是a,b的最大公因数。有lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b)为计算整数a,b的最大公因数的函数。其中c和0的最大公约数是c，所以。如此就计算出了a,b的最大公因数。接下来求最小公倍数lcm。...
#include <stdio.h> int main() { int a,b; int t; scanf("%d %d",&a,&b); a=12;b=18; while (b!=0){ t=a%b; a=b; b=t; printf("a=%d,b=%d,t=%d\n",a,b,t); } printf("gcd=%d\n",a); return 0; }
最新发布
10-26
你提供的 C 代码是用于计算两个整数的**最大公约数（GCD, Greatest Common Divisor）**，使用的是 **欧几里得算法（辗转相除法）**。但代码中存在一个逻辑问题：**在输入后又重新赋值了 `a=12; b=18;`**，导致用户输入被覆盖。 下面我们先分析代码运行结果，再给出修正版本和详细解释。 --- ### ❌ 原始代码的问题 ```c scanf("%d %d", &a, &b); a = 12; b = 18; // ← 这行覆盖了用户的输入！ ``` > 用户输入的数据没有实际作用，程序始终计算 `gcd(12, 18)`。 --- ### ✅ 修正后的完整代码（保留输入或固定值） #### 方案一：让用户输入 a 和 b ```c #include <stdio.h> int main() { int a, b, t; printf("请输入两个整数: "); scanf("%d %d", &a, &b); // 保存原始值以便输出 int original_a = a, original_b = b; while (b != 0) { t = a % b; a = b; b = t; printf("a=%d, b=%d, t=%d\n", a, b, t); } printf("gcd(%d, %d) = %d\n", original_a, original_b, a); return 0; } ``` #### 方案二：固定测试值（调试用） ```c #include <stdio.h> int main() { int a = 12, b = 18, t; printf("计算 gcd(12, 18)\n"); while (b != 0) { t = a % b; a = b; b = t; printf("a=%d, b=%d, t=%d\n", a, b, t); } printf("gcd = %d\n", a); return 0; } ``` --- ### 🔍 算法原理：欧几里得算法（辗转相除法） > 核心公式： > $$ \gcd(a, b) = \gcd(b, a \mod b) $$ 不断将大数替换为小数，小数替换为余数，直到余数为 0，此时的 `a` 就是最大公约数。 --- ### 🧮 执行过程（以 `a=12, b=18` 为例） | 步骤 | a | b | t = a % b | 新 a | 新 b | |------|----|----|-----------|------|------| | 初始 | 12 | 18 | — | — | — | | 1 | 12 | 18 | 12 % 18 = 12 | 18 | 12 | | 2 | 18 | 12 | 18 % 12 = 6 | 12 | 6 | | 3 | 12 | 6 | 12 % 6 = 0 | 6 | 0 | | 结束 | → gcd = 6 | #### 输出： ``` a=18, b=12, t=12 a=12, b=6, t=6 a=6, b=0, t=0 gcd = 6 ``` > ✅ 正确结果：`gcd(12, 18) = 6` --- ### 💡 补充说明 - `while (b != 0)` 是循环终止条件：当 `b == 0` 时，`a` 就是 GCD。 - 不需要处理负数？可以加绝对值处理（可选）： ```c a = abs(a); b = abs(b); ``` --- ### ✅ 完整健壮版本（支持负数、零判断） ```c #include <stdio.h> #include <stdlib.h> // for abs() int gcd(int a, int b) { a = abs(a); b = abs(b); // 转为正数 while (b != 0) { int t = a % b; a = b; b = t; } return a; } int main() { int a, b; printf("请输入两个整数: "); scanf("%d %d", &a, &b); printf("gcd(%d, %d) = %d\n", a, b, gcd(a, b)); return 0; } ``` --- ###
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