与数论的厮守05:gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)的证明

转载于 2019-06-26 11:07:00 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/akura/p/11088720.html

本文深入探讨了欧几里得算法的数学证明过程，通过设定变量和代数运算，展示了如何从任意两个整数出发求得它们的最大公约数。文章提供了直观的数学推导，辅以简洁的代码实现，帮助读者理解并掌握这一经典算法。

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\[ 设c=gcd(a,b)，那么a可以表示为mc，b可以表示为nc的形式。然后令a=kb+r，那么我们就\\ 只需要证明gcd(b,r)=c即可。{\because}r=a-kb=mc-knc，{\therefore}gcd(b,r)=gcd(nc,mc-knc)\\ =gcd(nc,(m-kn)c)，所以我们只需要证gcd(n,m-kn)=1即可。\\ 设n=xd,m-kn=yd，那么m=kn+yd=kxd+yd，进而a=(kx+y)cd,b=xcd\\ ，于是gcd(a,b)就可以表示为gcd((kx+y)cd,xcd)=cd，如果要让它等于c，那么d=1，即\\ gcd(n,m-kn)=1。 \]

放上模板代码：

int gcd(int a,int b){
    if(!b) return a;
    return gcd(b,a%b);
}
//压行之后:
int gcd(int a,int b){ return b?gcd(b,a%b):a; }

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