证明：当gcd(a,b)=1，gcd(a,a-b)=1

证明1：当$gcd(a,b)=1,时gcd(a,a-b)=1$

反证法证明：
假设$gcd(a,b)＝1,则令d=gcd(a,a-b)>1$
根据最大公约数的性质，$d\mid a且d\mid (a-b)$
$令a=pd,a-b=qd$
$又a-b=pd-b$
$\therefore pd-b=qd$
$\therefore b=(p-q)d$
$\therefore d\mid b$
又$d\mid a$因此d是a,b的公约数，显然与$gcd(a,b)=1$的条件相矛盾，假设错误，因此gcd(a,a-b)=1,证毕！
$gcd(a,a+b)=1$同理证明！

证明2：$gcd(a,b)=gcd(a,a-b)$

令$d=gcd(a,b),$
则根据最大公约数的性质，有$a=pd,b=qd,且gcd(p,q)=1$
$gcd(a,a-b)=gcd(pd,pd-qd)=d\ast gcd(p,p-q)=d$
$\therefore gcd(a,b)=gcd(a,a-b)$
$gcd(a,b)=gcd(a,a+b)$同理证明！