【解析几何】第一章 向量代数

1.1向量及其线性运算

1.1.1向量的概念

1. 既有大小又有方向的量称为向量
2. 向量$\vec{a}$的大小称之为向量的长度（或者模），记作|a|
3. 长度为零的向量称之为零向量，记为0
4. 长度为1的向量称之为单位向量
5. 同向或反向的两向量$\vec{a}$,$\vec{b}$称为平行向量，记作a//b
6. 与非零向量$\vec{a}$同向的单位向量记为${\vec{a}}^0$
7. 与$\vec{a}$长度相等但相反的向量称为$\vec{a}$的反向量或负向量，记为-$\vec{a}$
8. 平面（空间）中具有同一起点的所有单位向量的中终点构成的几何轨迹是圆（球）

1.1.2向量的加法

定义1.1.1: 三角形法则和平行四边形法则
定义1.1.2：向量的减法

• 满足规律：
  (1)$\vec{a}$+$\vec{b}$=$\vec{b}$+$\vec{a}$
  (2)($\vec{a}$+$\vec{b}$)+$\vec{c}$=$\vec{a}$+($\vec{b}$+$\vec{c}$)
  (3)$\vec{a}$+0=$\vec{a}$
  (4)$\vec{a}$+(-$\vec{a}$)=0

• 三角不等式：
  $|\vec{a}$+$\vec{b}|\le |\vec{a}|+|\vec{b}|$
  几何意义：三角形两边之和大于第三边

• 推广的三角不等式：
  $|\vec{a}+\vec{b}\dots \dots \vec{l}|\le |\vec{a}+\vec{b}\dots \dots +\vec{l}|$

思考：

• 三角不等式等号成立的条件是$\vec{a}$,$\vec{b}$同向
• $|\vec{a}+\vec{b}|$=$|\vec{a}|$-$|\vec{a}|$成立的条件是$\vec{a}$,$\vec{b}$反向

1.1.3数量与向量的乘法

定义1.1.3
单位化：${\vec{a}}^0=|\vec{a}{|}^{-1}\vec{a}$

• 规律：
  (1)$\lambda (\mu \vec{a})=(\lambda \mu )\vec{a}$
  (2)$(\lambda +\mu )\vec{a}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{a}$
  (3)$\lambda (\vec{a}+\vec{b})=\lambda \vec{a}+\lambda \vec{b}$

1.1.4共线、共面的向量组

定义1.1.4 平行于同一直线(平面)的向量组称为共线的(共面的)向量组

定义1.1.5 若对于向量组${\vec{a}}_i(i=1,2,\dots ,n)$,存在不全为0的实数$k_i(i=1,2,\dots ,n)$,使$$\sum _{i=1}^k{k}_i{a}_i=0$$则称向量组${\vec{a}}_i(i=1,2,\dots ,n)$线性相关，否则称向量组线性无关

命题1.1.1
两个向量$\vec{a},\vec{b}$共线的充要条件是$\vec{a},\vec{b}$线性相关

• 推论1.1.1 若$\vec{a},\vec{b}$共线且$\vec{a}\ne 0$,则存在唯一的实数$\lambda$使得$\vec{b}=\lambda \vec{a}$.

命题1.1.2
三向量$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$共面的充要条件是$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$线性相关

定理1.1.1设$\vec{a},\vec{b}$不共线，则$\vec{c}$与$\vec{a},\vec{b}$共面的充要条件是存在唯一的一对实数$\lambda ,\mu$使得$$\vec{c}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}$$

定理1.1.2设$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$不共面，则对空间中任一向量$\vec{d}$均存在唯一的数组$(\lambda ,\mu ,\gamma )$,使得$$\vec{d}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}+\gamma \vec{c}$$

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1.2 坐标与标价

1.2.1标价，向量，点和坐标

定义1.2.1