【高等代数】第一章 预备知识

1.1数域

• 数的发展：
  1.自然数 Natural Number
  2.整数 Integer （自然数+负整数)
  3.有理数 Rational Number (整数+分数)
  4.实数 Real Number (有理数+无理数)
  5.复数 Complex Number (实数+虚数)
  6.四元数 Quaternion
  ……
• 棣莫夫定理：
  $z{z}^{\prime }=|z||z^{\prime }|(\cos (\theta +{\theta }^{\prime })+i\sin (\theta +{\theta }^{\prime }))$
  由此可得：
  $z^n=|z{|}^n(\cos$n$\theta$+i$\sin$n$\theta )$
  $\frac{z}{z^{\prime }}=\frac{|z|}{|z^{\prime }|}(\cos (\theta -{\theta }^{\prime })+i\sin (\theta -{\theta }^{\prime }))$

1. 定义1：
   方程 $x^n-1=0$ 的根称为n次单位根
   几何意义：单位元进行$n$次等分

   命题1.1.1
   在复数域中，方程 $x^n-1=0$ 的根共有n个,他们可表示为$w_k=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}$,
   $k=0,1,2,\dots \dots n-1$

2. 定义2：
   设$F$是复数域$\mathbb{C}$的一个子集，且$0,1\in F$,如果$F$中任意两个数对于四则运算封闭（除数非零），则称$F$是一个数域

   封闭性：
   若非空集合$A$中有运算"$\circ$",$\forall a,b\in A$,都有$a\circ b\in A$,则称集合$A$关于运算"$\circ$"是封闭的

   命题
   有理数域$\mathbb{Q}$是最小的数域

3. 定义3：
   设$R$是复数域$\mathbb{C}$的一个子集，且$0,1\in R$.如果R关于运算加减乘封闭，则称$R$是一个数环

   整数环
   高斯(Guass)数环 Z ( − 1 ) = { a + b − 1 ∣ a , b ∈ Z } \mathbb{Z}(\sqrt{-1})=\{a+b\sqrt{-1}|a,b\in \mathbb{Z}\} Z(−1 ​)={a+b−1 ​∣a,b∈Z}
   艾森斯坦因(Eisenstein) Z ( ω ) = { a + b ω ∣ a , b ∈ Z } \mathbb{Z}(\omega)=\{a+b\omega|a,b\in \mathbb{Z}\} Z(ω)={a+bω∣a,b∈Z}

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1.2连加号

• $$\sum _{i=1}^n{a}_i=a_1+a_2+\dots \dots +a_n$$

命题1.2.1
证明：$$\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{a}_{ij}=\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^m{a}_{ij}$$

• $$\prod _{i=1}^n{a}_i=a_1{a}_2\dots \dots a_n$$

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1.3数学归纳法

• 最小数公理（良序公理):
  自然数集$\mathbb{N}$的任意一个非空子集$S$比必含有一个最小数，即$\exists a\in S，s.t.\forall c\in S,c\ge a.$

1. 定理1(第一数学归纳法):
   设有一个与自然数$n$有关的命题，如果
   (1)当$n=0$时，命题成立；
   (2)假设$n=k$时成立，则$n=k+1$时也成立；
   则命题对所有自然数成立

2. 定理2(第二数学归纳法):
   设有一个与自然数$n$有关的命题，如果
   (1)当$n=0$时，命题成立；
   (2)假设命题对所有小于$k$的自然数成立，则命题对$n=k$也成立；
   则命题对所有自然数成立

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1.4一元多项式的概念

1. 次数：记作$deg(f(x))$或$\partial (f(x))$

2. 定义1：
   设多项式$f(x)={\sum }_{i=0}^n{a}_i{x}^i$和$g(x)={\sum }_{j=0}^m{b}_j{x}^j,n\ge m$,则多项式的加法减法定义如下$$f(x)+g(x)=\sum _{i=0}^n(a_i+b_i)x^i$$ $$f(x)g(x)=\sum _{s=0}^{n+m}(\sum _{i+j=s}{a}_i{b}_j)x^s$$

   • 多项式的加法满足：交换律，结合律，零元率，负元率
   • 多项式的乘法满足：交换律，结合律，分配律，消去律

   命题1.4.1
   设$f(x)$和$g(x)$是数域$F$上的任意两个多项式，则 ∂ ( f ( x ) + g ( x ) ) ≤ m a x { ∂ ( f ( x ) ) , ∂ ( g ( x ) ) } \partial(f(x)+g(x))\leq max\{\partial(f(x)),\partial(g(x))\} ∂(f(x)+g(x))≤max{∂(f(x)),∂(g(x))}$$\partial (f(x)g(x))=\partial (f(x))+\partial (g(x))$$

3. 定义2：
   数域$F$上的一元多项式的全体，连同定义1.4.3中定义的加法和乘法运算，称为数域$F$上的一元多项式环，记作$F[x]$.

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1.5整除

1. 定理1(欧式除法)：
   对任意的$f(x),g(x)\in F[x]$,且$g(x)\ne 0$,存在唯一的$q(x),r(x)$,使得$$f(x)=q(x)g(x)+r(x)$$其中$\partial (r(x))<\partial (g(x))$,或者$r(x)=0$

2. 定理2(判定定理)：
   对任意的$f(x),g(x)\in F[x],g(x)\ne 0$,则$g(x)\mid f(x)$的充要条件是余式$r(x)=0$

3. 定理3(性质定理)：
   任意的$f(x),g(x),h(x)\in F[x]$,我们有

   • 若$f(x)\mid g(x)$且$g(x)\mid f(x)$,则$f(x)=cg(x)$,其中$0\ne c\in F$;
   • 若$f(x)\mid g(x),g(x)\mid h(x)$,则$f(x)\mid h(x)$;
   • 若$f(x)\mid g_i(x),i=1,2,\dots ,s$，则$$f(x)\mid \sum _{i=1}^s{u}_i(x)g_i(x),\forall u_i\in F[x]$$

   例1.5.3
   证明：$(x^d-1)\mid (x^n-1)$的充要条件是$d\mid n$

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1.6最大公因式

1. 定义1：
   设$f(x),g(x)\in F[x]$,则$d(x)\in F[x]$称为$f(x),g(x)$的一个最大公因式，如果:

   • $d(x)$是$f(x),g(x)$的公因式
   • 若$c(x)$是$f(x),g(x)$的任一公因式，则$c(x)\mid d(x)$

2. 引理1：
   若$f(x)=g(x)q(x)+r(x)$成立，则$f(x),g(x)$和$g(x),r(x)$有相同的公因式
   注：
   我们常把首项系数位1的最大公因式,即首一多项式
   记为$gcd(f(x),g(x))或（f(x),g(x))$

3. 定理1：
   对$\forall f(x),g(x)\in F[x]$,$f(x)$和$g(x)$的最大公因式存在

4. 定理2：
   设$f(x),g(x)\in F[x]$,则$d(x)$$f(x),g(x)$$d(x)$$f(x),g(x)$$\mu (x),\nu (x)\in F[x]$,使得$$d(x)=\mu (x)f(x)+\nu (x)g(x)$$

5. 定义2:
   设$f(x),g(x)\in F[x]$是数域$F$上的两个多项式，如果$(f(x),g(x))=1$，则称$f(x),g(x)$互素

6. 定理3（判定定理）：
   设$f(x),g(x)\in F[x]$，则$f(x),g(x)$互素的充要条件是$\exists \mu (x),\nu (x)\in F[x]$，使得：$$\mu (x)f(x)+\nu (x)g(x)=1$$.

7. 定理1.6.4（性质定理）：
   设$f(x),g(x),h(x),f_1(x),g_1(x)\in F[x]$，我们有

   • 若$(f(x),g(x))=d(x)\ne 0$,设$f(x)=f_1(x)d(x),g(x)=g_1(x)d(x)$,则$(f_1(x),g_1(x))=1$
   • 若$(f_1(x),g(x))=1，(f_2(x),g(x))=1$，则$(f_1(x)f_2(x),g(x))=1$
   • 若$(f(x),g(x))=1$且$f(x)\mid g(x)h(x)$,则$f(x)\mid h(x)$
   • 若$f_1(x)\mid g(x),f_2(x)\mid g(x)$,且$(f_1(x)f_2(x))=1$,则$f_1(x)f_2(x)\mid g(x)$

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1.7韦达定理

定理1.7.1（韦达定理）：
设${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$为$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_0$的$n$个负根，则$$(-1{)}^k\frac{a_n-k}{a_n}=\sum _{1\le i_1<i_2<\dots <i_k\le n}{\alpha }_{i_1}{\alpha }_{i_2}\dots {\alpha }_{i_k},k=1,2,\dots ，n.$$

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1.8等价关系

定义1.8.1:
设A,B是任意两个非空集合.卡氏积$A\times B$的每一个子集$R$都称为一个从$A$到$B$的 (二元)关系.

• 特别地，集合A上的一个二元关系指的是卡氏积$A\times A=\{(a,b)\mid a,b\in A\}$的一个子集R.若$(a,b)\in R$,则称$a$与$b$符合关系$R$,记作$aRb$.

定义1.8.2：
集合A上的一个二元关系R称为A上的等价关系(通常记作~)，如果

• 自反性 $\forall a\in A,(a,a)\in R$
• 对称性 若$(a,b)\in R$,则$(b,a)\in R$
• 传递性 若$(a,b)\in R,(b,c)\in R$,则$(a,c)\in R$

等价类:设~是集合$A$上的一个等价关系，记$A$的子集 [ a ] = { b ∈ A , b ∽ a } [a]=\{b\in A,b\backsim a\} [a]={b∈A,b∽a}称为元素a的等价类
划分:将集合$A$分成若干个子集的不交并,这些子集的全体称为集合$A$的一个划分

定理1.8.1
集合$A$的一个划分决定了$A$上的一个等价关系；反之，$A$上的一个等价关系决定了$A$的一个划分

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参考书籍：高等代数（科学出版社）