【高等数学】向量代数

1、向量的概念及其线性运算

1.1、向量的概念

向量：既有大小，又有方向的量称为向量(又称矢量)
表示法：有向线段$\overrightarrow{M_1{M}_2}$或$\vec{a},$或$a$

向量的模：向量的大小，记作$|\overrightarrow{M_1{M}_2}|,$或$|\vec{a}|,$或$|a|$

自由向量：与起点无关的向量

单位向量：模为1的向量，记作$\vec{e}$或e

零向量：模为0的向量，记作$\vec{0}$或0

若向量$\vec{a}$与向量$\vec{b}$大小相等，方向相同，则称$\vec{a}$与向量$\vec{b}$相等，记作$\vec{a}=\vec{b}$

若向量$\vec{a}$与$\vec{b}$方向相同或相反，则称$\vec{a}$ 与$\vec{b}$平行，记作$\vec{a}//\vec{b}$
规定：零向量与任何向量平行

与$\vec{a}$的模相同，但方向相反的向量称为$\vec{a}$的负向量，记作$-\vec{a}$

因平行向量可平移到同一直线上，故两向量平行又称两向量共线

若$k(\ge 3)$个向量经平移可移到同一平面上，则称此$k$个向量共面

1.2、向量的线性运算

1.2.1、向量的加法

平行四边形法则：

如图：$\vec{a}+\vec{b}=$平行四边形对角线
因为如果把$\vec{b}$的起点平移到$\vec{a}$的终点就是$\vec{a}+\vec{b}$，所以也就可以得到三角形法则

三角形法则：

运算规律：
1、交换律 $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$
2、结合律 $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$

1.2.2、向量的减法

$\vec{b}-\vec{a}=\vec{b}+(-\vec{a})$

特别当$\vec{b}=\vec{a}$时，有$$\vec{a}-\vec{a}=\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$$

1.2.3、向量与数的乘法

$\lambda$是一个数，$\lambda$与$\vec{a}$的乘积是一个新向量，记作$\lambda \vec{a}$
规定：
$\lambda >0$时，$\lambda \vec{a}$与$\vec{a}$同向，$|\lambda \vec{a}|=\lambda |\vec{a}|$
$\lambda <0$时，$\lambda \vec{a}$与$\vec{a}$反向，$|\lambda \vec{a}|=-\lambda |\vec{a}|$
$\lambda =0$时，$\lambda \vec{a}=\vec{0}$

总之：$|\lambda \vec{a}|=|\lambda ||\vec{a}|$

运算律：
结合律 $\lambda (\mu \vec{a})=\mu (\lambda \vec{a})=\lambda \mu \vec{a}$
分配律：$(\lambda +\mu )\vec{a}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{a}$
$\lambda (\vec{a}+\vec{b})=\lambda \vec{a}+\lambda \vec{b}$

若$\vec{a}\ne \vec{b},$则有单位向量${\vec{e}}_a=\frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}$

定理：设$\vec{a}$为非零向量，则$$\vec{a}//\vec{b}\Lleftarrow \Rrightarrow \vec{b}=\lambda \vec{a}(\lambda 为唯一实数)$$

1.3、空间直角坐标系

1.3.1、空间直角坐标系的基本概念

过空间一定点$O,$由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系

其中点$O$为坐标原点
$x/y/z$轴称为坐标轴

上面三个面称为坐标面
$x$轴与$y$轴所决定的面称为$xOy$面
$x$轴与$z$轴所决定的面称为$zOx$面
$y$轴与$z$轴所决定的面称为$yOx$面

卦限：上面的三个面就把整个空间分成了8个部分，所以卦限就有八个

在空间直角坐标系中，给一点$M$，点M的坐标即为$(x,y,z)$
并且这个坐标也就是为从原点$O$出发到$M$点的一个向量$\vec{r}$，$\vec{r}$我们称为向径
如图：

特殊点的坐标：
原点$O(0,0,0)$
坐标轴上的点$P,Q,R$
坐标面上的点$A,B,C$

坐标面：
$xOy$面上的点的方程：$z=0,$也就是$z=0$的所有点构成的面就是$xOy$面
$yOz$面上的点的方程：$x=0,$也就是$x=0$的所有点构成的面就是$yOz$面
$zOx$面上的点的方程：$y=0,$也就是$y=0$的所有点构成的面就是$zOx$面

坐标轴：
$x轴上的点：y=0,z=0$
$y轴上的点：x=0,z=0$
$z轴上的点：y=0,x=0$

1.3.2、向量的坐标表示

在空间直角坐标系下，任意向量$\vec{r}$可用向径$\overrightarrow{OM}$表示

以$\vec{i},\vec{j},\vec{k}$分别表示$x,y,z$轴上的单位向量

设点$M$的坐标为$M(x,y,z)$则$$\vec{r}=\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$$
则$\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k},$记为$(x,y,z)$
此式称为向量$\vec{r}$的坐标分解式，$x\vec{i},y\vec{j},z\vec{k}$称为向量$\vec{r}$沿三个坐标轴方向的分向量
如图：

1.4、利用坐标作向量的线性运算

设$\vec{a}=(a_x,a_y,a_z),\vec{b}=(b_x,b_y,b_z),\lambda$为实数，则$$\begin{gathered} \vec{a}\pm \vec{b}=(a_x\pm b_x,a_y\pm b_y,a_z\pm b_z) \\ \lambda \vec{a}=(\lambda a_x,\lambda a_y,\lambda a_z) \end{gathered}$$

平行向量对应坐标成比例：
当$\vec{a}\ne \vec{0}$时，$$\vec{b}//\vec{a}\Lleftarrow \Rrightarrow \vec{b}=\lambda \vec{a}\Lleftarrow \Rrightarrow \frac{b_x}{a_x}=\frac{b_y}{a_y}=\frac{b_z}{a_z}=\lambda$$

1.5、向量的模、方向角、投影

1.5.1、向量的模与两点间距离公式

设$\vec{r}=(x,y,z),$作$\overrightarrow{OM}=\vec{r},$则有$$\vec{r}=\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OR}$$
由勾股定理得：
$$|\vec{r}|=|OM|=\sqrt{|OP{|}^2+|OQ{|}^2+|OR{|}^2}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$
对两点$A(x_1,y_1,z_1)$与$B(x_2,y_2,z_2),$因$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$$
得两点间距离公式：$$|AB|=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$$

1.5.2、方向角与方向余弦

设有两非零向量$\vec{a},\vec{b},$任取空间一点$O,$作$\overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b},$称$\phi =\angle AOB(0\le \phi \le \pi )$为向量$\vec{a},\vec{b}$的夹角

类似可定义向量与轴，轴与轴的夹角

给定$\vec{r}=(x,y,z)\ne \vec{0},$称$\vec{r}$与三坐标轴的夹角$\alpha ,\beta ,\gamma$为其方向角

方向角的余弦称其为方向余弦：$$\begin{gathered} \cos \alpha =\frac{x}{|\vec{r}|}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\ \cos \beta =\frac{y}{|\vec{r}|}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\ \cos \gamma =\frac{z}{|\vec{r}|}=\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \end{gathered}$$

方向余弦的性质：$${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$$

向量$\vec{r}$的单位向量：$${\vec{e}}_r=\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$$

1.5.3、向量在轴上的投影

设$\vec{a}$与$u$轴正向的夹角为$\phi ,$则$\vec{a}$在轴$u$上的投影为$|\vec{a}|\cos \phi$
记为：$Pr{j}_u\vec{a}$或$(\vec{a}{)}_u,$即：
$$(\vec{a}{)}_u=|\vec{a}|\cos \phi$$

例如：$\vec{a}=(a_x,a_y,a_z)$在坐标轴上的投影分别为$a_x,a_y,a_z$

投影的性质：
1、$(\vec{a}+\vec{b}{)}_u=(\vec{a}{)}_u+(\vec{b}{)}_u$
2、$(\lambda \vec{a}{)}_u=\lambda (\vec{a}{)}_u,$$(\lambda 为实数)$

2、数量积、向量积、混合积

2.1、两向量的数量积

2.1.1、引例

设一物体在常力$\vec{F}$作用下，沿与力夹角为$\theta$的直线移动，位移为$\vec{s}$，则力$\vec{F}$所做的功为$$W=|\vec{F}||\vec{s}|\cos \theta$$

由于这种量使用的非常多，所以数学中就给出了如下定义

2.1.2、定义

设向量$\vec{a},\vec{b}$的夹角为$\theta ,$称$$|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta ，记作：\vec{a}\cdot \vec{b}$$
为$\vec{a}$与$\vec{b}$的数量积(点积)
有了此定义，则引例中的式子即可写为：$\vec{F}\cdot \vec{s}$

当$\vec{a}\ne \vec{0}$时，$\vec{b}$在$\vec{a}$上的投影为$$|\vec{b}|\cos \theta =Pr{j}_{\vec{a}}\vec{b}$$

$\therefore \vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|Pr{j}_{\vec{a}}\vec{b}$
同理，当$\vec{b}\ne \vec{0}$时，
$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{b}|Pr{j}_{\vec{b}}\vec{a}$

2.1.3、性质

$(1)\vec{a}\cdot \vec{a}=|\vec{a}{|}^2$
$(2)\vec{a},\vec{b}$为两个非零向量，则有 $$\vec{a}\cdot \vec{b}=0\Lleftarrow \Rrightarrow \vec{a}\perp \vec{b}$$

2.1.4、运算律

(1)、交换律：$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$

(2)、结合律$(\lambda ,\mu 为实数)$：
$(\lambda \vec{a})\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot (\lambda \vec{b})=\lambda (\vec{a}\cdot \vec{b})$
$(\lambda \vec{a})\cdot (\mu \vec{b})=\lambda (\vec{a}\cdot (\mu \lambda b))=\lambda \mu (\vec{a}\cdot \vec{b})$

(3)、分配律：$(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c}=\vec{a}\cdot \vec{c}+\vec{b}\cdot \vec{c}$

2.1.5、数量积的坐标表示

设$\vec{a}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k}$
$\vec{b}=b_x\vec{i}+b_y\vec{j}+b_z\vec{k}$
则：
$$\vec{a}\cdot \vec{b}=(a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k})\cdot (b_x\vec{i}+b_y\vec{j}+b_z\vec{k})$$
由于$\vec{i}\cdot \vec{i}=\vec{j}\cdot \vec{j}=\vec{k}\cdot \vec{k}=1$
且$\vec{i}\cdot \vec{j}=\vec{j}\cdot \vec{k}=\vec{i}\cdot \vec{k}=0$
$$\therefore \vec{a}\cdot \vec{b}=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$$

两向量的夹角公式：
当$\vec{a},\vec{b}$为非零向量时，由于$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$
$$\therefore \cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}$$

2.2、两向量的向量积

2.2.1、定义

设$\vec{a},\vec{b}$的夹角为$\theta$，定义：
向量$\vec{c}$的方向：$\vec{c}\perp \vec{a},\vec{c}\perp \vec{b}$且符合右手规则
向量$\vec{c}$的模：$|\vec{c}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$

称$\vec{c}$为向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的向量积，记作$$\vec{c}=\vec{a}\times \vec{b}(叉积)$$

几何意义：
如图

$S=\frac{1}{2}|\vec{a}\times \vec{b}|$或者等于以$\vec{a},\vec{b}$为邻边的平行四边形的面积

2.2.2、性质

(1)、$\vec{a}\times \vec{a}=\vec{0}$

(2)、$\vec{a},\vec{b}$为非零向量，则$\vec{a}\times \vec{b}=\vec{0}\Lleftarrow \Rrightarrow \vec{a}//\vec{b}$
【证明】
$\vec{a}\times \vec{b}=0\Lleftarrow \Rrightarrow |\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta =0\Lleftarrow \Rrightarrow \sin \theta =0$
即：$\theta =0/\theta =\pi \Lleftarrow \Rrightarrow \vec{a}//\vec{b}$

2.2.3、运算律

$\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times \vec{a}$
分配律：$(\vec{a}+\vec{b})\times \vec{c}=\vec{a}\times \vec{c}+\vec{b}\times \vec{c}$
结合律：$(\lambda \vec{a})\times \vec{b}=\vec{a}\times (\lambda \vec{b})=\lambda (\vec{a}\times \vec{b})$

2.2.4、向量积的坐标表示

设$\vec{a}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k}$
$\vec{b}=b_x\vec{i}+b_y\vec{j}+b_z\vec{k}$
则：$$\vec{a}\times \vec{b}=(a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k})\times (b_x\vec{i}+b_y\vec{j}+b_z\vec{k})=(a_y{b}_z-a_z{b}_y)\vec{i}+(a_z{b}_x-a_x{b}_z)\vec{j}+(a_x{b}_y-a_y{b}_x)\vec{k}=\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}$$

2.3、向量的混合积

2.3.1、定义

已知三向量$\vec{a},\vec{b},\vec{c},$称数量$$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c},记作：[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]$$
为$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$的混合积

2.3.2、几何意义

以$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$为棱作平行六面体，则其$$底面积A=|\vec{a}\times \vec{b}|,高h=|\vec{c}||\cos \alpha |$$
故平行六面体体积为$$V=Ah=|\vec{a}\times \vec{b}||\vec{c}||\cos \alpha |=|(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}|$$

2.3.3、混合积的坐标表示

设$\vec{a}=(a_x,a_y,a_z)$
$\vec{b}=(b_x,b_y,b_z)$
$\vec{c}=(c_x,c_y,c_z)$
$$[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}=\begin{array}{cc}{a}_y& a_z\\ b_y& b_z\end{array}{c}_x-\begin{array}{cc}{a}_x& a_z\\ b_x& b_z\end{array}{c}_y+\begin{array}{cc}{a}_x& a_y\\ b_x& b_y\end{array}{c}_z=\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ c_x& c_y& c_z\end{array}$$

2.3.4、性质

(1)、三个非零向量$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$共面的充要条件是$$[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=0$$
(2)、轮换对称性：

$$[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=[\vec{b}\vec{c}\vec{a}]=[\vec{c}\vec{a}\vec{b}]$$
(可用三阶行列式推导)