微积分知识梳理——向量代数与空间解析几何公式部分（不含详细推导过程）

向量代数与空间解析几何

本文在整理时由于数量积部分知识于高中阶段已经进行全面学习，以作省略（ = 懒）

向量&线性运算

向量积

方向判断

右手法则

记号&定义

$$\begin{gathered} \vec{c}=\vec{a}\times \vec{b} \\ |\vec{c}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta \\ \vec{c}\perp \vec{a},\vec{c}\perp \vec{b} \end{gathered}$$

运算规律

反交换律：$\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times \vec{a}$

结合律：$k\vec{a}\times \vec{b}=(k\vec{a})\times \vec{b}=\vec{a}\times (k\vec{b})$

分配律：$\vec{a}\times (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times \vec{b}+\vec{a}\times \vec{c}$

​ $(\vec{a}+\vec{b})\times \vec{c}=\vec{a}\times \vec{c}+\vec{b}\times \vec{c}$

向量平行：$\vec{a}\times \vec{b}=0$

坐标运算

$$\vec{a}\times \vec{b}=\left|\begin{array}{cccc}& \vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ & a_x& a_y& a_z\\ & b_x& b_y& b_z\end{array}\right|$$

混合积

$$\begin{gathered} (\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}=(\vec{c}\times \vec{a})\cdot \vec{b}=(\vec{b}\times \vec{c})\cdot \vec{a} \\ (\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ c_x& c_y& c_z\end{array}\right| \end{gathered}$$

平面与空间直线

以下公式中$\vec{u}$为直线方向向量，$\vec{n}$为平面法向量

平面

点法式

$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$

一般式

$$Ax+By+Cz+D=0$$

截距式

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$

三点式

$$\begin{gathered} 0=\left|\begin{array}{ccc}x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ x_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\end{array}\right| \\ =\left|\begin{array}{cccc}x& y& z& 1\\ x_1& y_1& z_1& 1\\ x_2& y_2& z_2& 1\\ x_3& y_3& z_3& 1\end{array}\right| \end{gathered}$$

点到平面距离公式

$$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

直线

点向式

$$\frac{x-x_0}{u_x}=\frac{y-y_0}{u_y}=\frac{z-z_0}{u_z}$$

一般式（两平面交线）

$$\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$$

参数式

{ x = x 0 + u x t y = y 0 + u y t z = z 0 + u z t             t ∈ { − ∞ , + ∞ } \begin{cases} x=x_0+u_xt\\ y=y_0+u_yt\\ z=z_0+u_zt \end{cases} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t\in\{-\infty,+\infty\} ⎩ ⎨ ⎧​x=x0​+ux​ty=y0​+uy​tz=z0​+uz​t​           t∈{−∞,+∞}

两点式

$$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$$

点到直线距离公式

$$d=\frac{\sqrt{[u_y(z_1-z_0)-u_z(y_1-y_0){]}^2+[u_x(z_1-z_0)-u_z(x_1-x_0){]}^2+[u_y(x_1-x_0)-u_x(y_1-y_0){]}^2}}{\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}}$$

建议这么记
$$d=\frac{|\vec{u}\times \overrightarrow{P_0{P}_1}|}{|\vec{u}|}$$

位置关系

平面与平面

平行

$$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$$

重合

$$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{D_1}{D_2}$$

夹角

平面与直线

平行

$$\vec{n}\cdot \vec{u}=0$$

相交

特别的：$\vec{n}\parallel \vec{u}$时，直线垂直于平面

直线与直线

平行

相交

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}{x}_1+t_1{u}_x=x_2+t_2{u}_x\\ y_1+t_1{u}_y=y_2+t_2{u}_y\\ z_1+t_1{u}_z=z_2+t_2{u}_z\end{array} \\ {t}_1,t_2存在且唯一 \end{gathered}$$

异面

$$(\vec{u}\times \vec{v})\cdot \overrightarrow{P_1{P}_2}\ne 0$$

异面直线距离

$$h=\frac{|(\vec{u}\times \vec{v})\cdot \overrightarrow{P_1{P}_2}|}{|\vec{u}\times \vec{v}|}$$

曲面与空间曲线

曲面

一般式

$$F(x,y,z)=0$$

参数式

$$\{\begin{array}{l}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v)\end{array}其中u,v为参数$$

曲线

1. 两个曲面的交
   $$\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array}$$

2. 单参的参数方程
   $$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array}其中t为参数$$

圆柱螺旋线
$$\{\begin{array}{l}x=a\cos \omega t\\ y=a\sin \omega t\\ z=vt\end{array}(0\le t<+\infty )$$

旋转曲面、柱面和锥面

旋转曲面

某曲线绕直线旋转一周而生成的曲面

柱面

由一条直线沿一条曲线平行移动所生成的曲面称为柱面

该直线为母线，曲线为准线

锥面

一条过定点的直线沿不过此定点的曲线移动所生成的曲面称为锥面

该直线为母线，曲线为准线，定点为顶点

相关题目解题思路

追根溯源

在曲面上任去一点$P(x,y,z)$,由曲面上$P_0(x_0,y_0,z_0)$移动得到，根据关系列出方程得到曲面方程

二次曲面

椭球面

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$

椭圆抛物面

$$z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$$

单叶双曲面

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$

双叶双曲面

$$-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$

双曲抛物面

$$z=-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$$