最小生成树——Kruskal算法

引例

有一张城市地图，图中顶点为城市，无向边代表两个城市间的连通关系，边上的权为在这两个城市间修建高速公路的造价，研究后发现，这个地图有一个特点，即每一对城市都是连通的。现在的问题是，要修建若干高速公路把所有城市联系起来，问如何设计可使的工程的总造价最少？

考虑问题的出发点是：为使生成树上边的权值和最小，则应使生成树中每一条边的权值尽可能的小。

进入正题

• Kruskal算法是一种巧妙地利用并查集来求最小生成树的算法
• Kruskal算法将一个连通块当做一个集合。首先将所有边按从小到大的顺序排序（一般使用快排），并认为每一个顶点都是孤立的，分别属于n个独立的集合，那么就把这条边加入最小生成树，这两个不同的集合就合并成了一个集合。如果这条边连接的两个点已经属于同一个集合，就跳过。知道选了n-1条边为止。
  用个图表示一下（和引例不一样）
  

最终求得最小生成树权值为17（上图）

• Kruskal算法的时间复杂度为O(E*logE),E为边数。
  小结
  通过上边的模拟能够看到，Kruskal算法每次都选择一条最小的且能合并两个不同集合的边，一张n个顶点的图总共选取n-1次边。因为我们每次选的都是最小的边，所以最后的生成树一定是最小生成树。
  每次我们选的边都能合并两个集合，最后n个点一定会合并成一个集合。
  通过这样的贪心策略，Kruskal算法能得到一棵有n-1条边，连接着n个顶点的最小生成树。

伪代码

// 把所有边排序，记第i小的边为e[i]
tot=0;// 初始化最小生成树为空
father[i]=i;// 初始化并查集，让每个点自成一个独立的连通分量
k=0;//计数器
for(int i=0;i<m;i++){
	if(e[i].u和e[i].v不在同一个连通分量里）{
		//合并e[i].u和e[i].v所在的连通分量
		tot+=W(u,v);//把边加入最小生成树
		k++;//如果k=n-1,说明最小生成树已经生成，则break
	}
}

伪代码中最关键的部分在于连通分量的查询与合并：需要知道任意两点是否在同一个连通分量中，还需要合并两个连通分量。

关于查询与合并

最容易想到的方法是“暴力”。但是这个方法复杂而且效率不高。（需要写DFS或BFS）
有一种简介高效的方法可以用来处理这个问题：使用并查集

并查集

并查集的精妙之处就在于用树来表示集合。例如：若包含1、2、3、4、5、6的图有三个连通分量{1,3}、{2,5,6}、{4}，则需要用三棵树来表示。这三棵树的具体形态无关紧要，只要有一体棵树包含1,3这两个点，一棵树包含2,5,6这三个点，还有一棵树只包含4这一个点即可。
如果把x的父节点保存在f[x]中（如果x没有父节点，则f[x]=x），那么不难写出“查找x所在树的的根节点”的递归方程：

int find(int x