KruskalAlgorithm(克鲁斯卡尔算法)

KruskalAlgorithm介绍

1. 克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
2. 基本思想：按照权值从小到大的顺序选择 n-1 条边，并保证这 n-1 条边不构成回路
3. 具体做法：首先构造一个只含 n 个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止

最小生成树

(Minimum Cost Spanning Tree)，简称 MST。给定一个带权的无向连通图，如何选取一棵生成树，使树上所有边上权的总和为最小，这叫最小生成树

克鲁斯卡尔算法应用场景-公交站问题

1. 某城市新增 7 个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把 7 个站点连通

2. 各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12 公里

3. 问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

克鲁斯卡尔算法图解说明

以上图为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设用数组 R 保存最小生成树结果)。

第1步：将边<E,F>加入 R 中。

边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。

第2步：将边<C,D>加入 R 中。

上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。

第3步：将边<D,E>加入 R 中。

上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。

第4步：将边<B,F>加入 R 中。

上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果 R 中。

第5步：将边<E,G>加入 R 中。

上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。

第6步：将边<A,B>加入 R 中。
上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果 R 中。

此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：***<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>***。

克鲁斯卡尔算法分析

根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：

问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。

问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。

问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。

问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。

如何判断是否构成回路

在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树 R 中之后，这几条边的顶点就都有了终点：

• C 的终点是 F。

• D 的终点是 F。

• E 的终点是 F。

• F 的终点是 F。

关于终点的说明：

1. 就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。

2. 因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是 C 和 E 的终点都是 F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点不都指向同一个终点，否则将构成回路

代码实现

public class KruskalAlgorithm {
   
    private int edgeNum; // 边的个数
    private char[] vertexs; // 顶点数组
    private int[][] matrix; // 邻接矩阵
    // 用 INF 表示两个顶点之间不连通
    private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;

    public static void main(String[] args) {
   
        char[] vertexs = {
   'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
        int[][] matrix = {
   
               /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
        /*A*/{
     0,   12,  INF, INF, INF,  16,  14}