“蔚来杯“2022牛客暑期多校训练营7-J Melborp Elcissalc

"蔚来杯"2022牛客暑期多校训练营7-J Melborp Elcissalc

原题题面：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/33192/J

题目大意

已知$k(1\le k\le 64)$，对于每个仅包含$[0,k-1]$区间内的整数的数组，定义其优美度为非空连续子数组之和为$k$的倍数的数量。

求有多少长度为$n(1\le n\le 64)$的数组，其优美度为$t(0\le t\le \frac{n(n+1)}{2})$，答案对$998244353$取模。

解题思路

考虑如何求给定一个序列，求其中和为$k$的倍数的区间的个数，先求一遍前缀和，然后各取模$k$，不影响结果 ，求出$su{m}_i=(su{m}_{i-1}+a_i)\%mod$。

发现若任意$su{m}_i=su{m}_j(i\le j)$，则区间$[i,j]$的和为$k$的倍数，定义$nu{m}_i$为$su{m}_j=i(j\in [1,n])$的$j$的个数，则一段序列中，和为$k$的倍数的区间的个数显然为：
$$\sum _{i=0}^{k-1}{C}_{nu{m}_i}^2$$

设$d{p}_{i,j,k}$表示已使用区间和为$[0,i]$，占了$j$个位置，优美度为$k$的个数，$s$为区间和为$i$所占的位置数，则$d{p}_{i,j,k}$要加上$s$从$0$到$j$，$d{p}_{i-1,j-s,k-C_s^2}$与这$s$个位置的方案数$C_{n-j+s}^s$的积。即：
$$d{p}_{i,j,k}=\sum _{s=0}^{j}d{p}_{i-1,j-s,k-C_s^2}\times C_{n-j+s}^s$$
答案即为：$d{p}_{k-1,n,t}$

代码实现

时间复杂度为$O(N^5)$，勉强过。空间复杂度可能过大，考虑到一次转移只与$i-1$有关，可以用滚动数组。或考虑到$j$是从小转移到大，可以先从$d{p}_{i,n,k}$开始转移。

有dalao写了极其fast的代码，可以去看看。

数据卡常，注意常数优化

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=66,mod=998244353;
int n,k,t,dp[N+1][N*(N+1)/2],fac[N+1][N+1],K;
int add(int a,int b){
    if(a+b>=mod)return a+b-mod;
    return a+b;
}
void init(){
    fac[0][0]=1;
    for(int i=1;i<N;i++)
    {
        fac[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++){
            fac[i][j]=add(fac[i-1][j],fac[i-1][j-1]);
        }
    }
}
int C(int x,int y){
    if(x<y)return 0;
    return fac[x][y];
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>K>>t;
    init();
    for(int y=0;y<=n;++y){
        dp[y][C(y+1,2)]=C(n,y);
    }
    for(int i=1;i<K;i++){
        for(int j=n;j>=0;j--){
            for(int k=t;k>=0;k--){
                for(int s=1;s<=j&&k-C(s,2)>=0;s++){
                    dp[j][k]=add(dp[j][k],1ll*dp[j-s][k-C(s,2)]*C(n-j+s,s)%mod);
                }
            }
        }
    }
    cout<<dp[n][t];
}