2023牛客暑期多校训练营5-C Cheeeeen the Cute Cat-优快云博客

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2023牛客暑期多校训练营5-C Cheeeeen the Cute Cat

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/57359/C

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2023牛客暑期多校训练营5-C Cheeeeen the Cute Cat

题意

在这里插入图片描述

解题思路

可以将边 $(i, j + n)$ 转变成 $(i, j)$ 连边，将二分图转变为竞赛图（由题意可知没有重边， $\frac{n(n-1)}{2}$ 条边恰好等于一个 $n$ 个点的竞赛图边数）。根据题意，在二分图上进行完美匹配等价于求对应竞赛图的哈密顿回路：将 $a_1,a_2+n)、(a_2,a_3+n)、(a_3,a_4+n)、(a_4,a_5+n)······(a_k,a_1+n)$ 转变为 $a_1\longrightarrow a_2\longrightarrow a_3\longrightarrow a_4\longrightarrow a_5······a_k\longrightarrow a_1$ 。
每个 $n\le 3$ 的强连通分量都有哈密顿回路，若该图中都是这种强连通分量,就能找出一条长为 $n$ 的哈密顿回路，若有孤立的强连通分量，就会有 $1$ 个点无法匹配。

对于一个强连通图显然可以全部匹配，则答案为 $n$ ，只需特判孤立的强连通分量即可，若有，则答案为 $n - 1$ 。

兰道定理：

一个竞赛图强连通的充要条件是：把它的所有顶点按照出度d从小到大排序，对于任意k∈[0,n−1]
都不满足 $\sum_{i=0}^k di=\dbinom {k+1}2$ 。

根据兰道定理，可以根据出度序列判断强连通分量。（当然也可以尝试 $t a r jan$ 水过去。）

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,deg[3003],a;
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			cin>>a;
			if(a)deg[a]++;
		}
	}
	sort(deg+1,deg+n+1);
	int s=0;
	for(int i=1,j=0;i<=n;i++){
		s+=deg[i];
		if(s==i*(i-1)/2){
			if(i-j<3){
				cout<<n-1;
				return 0;
			}
			j=i;
		}
	}
	cout<<n;
}