“蔚来杯“2022牛客暑期多校训练营7 A题: Floor Tiles in a Park

A题: Floor Tiles in a Park

原题链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/33192/A

题目大意

给定大小为 $W\times H(1\le W,H\le 10^9)$ 的矩形，求其恰好分割为 $K(1\le k\le min(5,W\times H))$ 个长宽均为整数的子矩形的方案数。

题解

$k$ 的范围很小，可以手玩枚举算出每种情况计算答案。

在手玩的过程中，我们可以发现答案由若干组合数构成，且组合数最复杂为 $C_x^4$ 的形式。
因此，我们一定可以将答案展开为如下形式:
$$ans=\sum _{i=0}^4\sum _{j=0}^4{a}_{i\times 5+j}{W}^i{H}^j$$

不妨在本地对于每一个 $k\in [1,5]$ 搜索出 $H,W\le 5$ 的 $25$ 种情况，作插值求出此时的系数 $a_{i,j}$ 并打表。当读入 $H,W,k$ 时代入求解即可。
搜索可以每次枚举填充一个空的子矩形，在 $k$ 次填充后判断是否填满即可。
作插值可以用高斯消元解同余方程组，复杂度为 $O(25^3)$