“蔚来杯“2022牛客暑期多校训练营7 JK题解

Shanhj

已于 2022-08-13 18:09:36 修改

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分类专栏： 2022暑假牛客多校补题文章标签：算法图论 c++

于 2022-08-13 10:58:50 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Shanhj/article/details/126314955

J-Melborp Elcissalc

题目大意：
构造一个长度为n的序列，每个位置的数字在[0,k-1]之间，求连续区间和为k的倍数的方案数。

思路：
看到区间和，比较常见的处理就是前缀和了，从本题中可以发现区间和为k倍数的区间两端的前缀和模k是相同的，即区间[i,j]的和为k的倍数，那么sum[i]%k==sum[j]%k。因此，如果有m个前缀和相同，那么这m个前缀和可以两两组成C(2,m)个区间。本题的第一个转换就是从枚举区间到枚举前缀和。再进一步，组合的数量和前缀和的位置无关，因此只要每种前缀和的数量确定了，就可以确定组成的区间数量。
于是将状态定义为：

dp[i][j][k]表示从[0,i]的数字中一共选了j个作为前缀和，组合数为k种的方案数。
这么设计的原因：
动态规划要求无后效性，因为只有相同的前缀和才能进行组合，因此第一维作为数字，当加入新的数字时，增加的组合数和之前的数是无关的。
后两维主要是为了递推，有了第一维后就很容易得出后两维了。

状态转移方程稍微复杂一点

dp[i][j][k] = dp[i-1][j-x][k-C(2,x)]*C(n-j+x,x); //C(n-j+x,x)表示从n个位置里减去已经选的j-x个位置后任选x个的情况
也可以写成：
dp[i][j+x][k+C(2,x)] = dp[i-1][j][k] * C(n-j,x)
枚举x即可。

需要注意的是i=0的情况要特殊讨论，因为一个0也可以是符合的区间。

第一种转移方式的常数较小，第二种方式写得不好可能会被卡常
AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define mem(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
const long long mod = 998244353;
using namespace std;

long long dp[70][70][5000], C[70][70];

signed main()
{
   
   
    int n, k, t;
    cin >> n >> k >> t;
    mem(dp, 0), mem(C, 0);
    for (int i = 0; i < 70; i++) //递推组合数
    {
   
   
        for (int j = 0; j <= i; j++)
        {
   
   
            if (!j)
                C[i][j] = 1;
            else
                C[i]