“蔚来杯“2022牛客暑期多校训练营7 J.Melborp Elcissalc

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题目大意

已知 $k(1\le k\le 64)$ ，对于每个仅包含 $[0,k-1]$ 区间内的整数的数组，定义其优美度为非空连续子数组之和为 $k$ 的倍数的数量。
求有多少长度为 $n$ 的数组，其优美度为 $t$ ，答案对 $998244353$ 取模。

题解

对于快速求区间和，采用前缀和算法，
由于要求 $k$ 的倍数，所以我们可以把前缀和 $modk$ 容易想到，由取模而得到的前缀和是单一的，并且可以通过倒推得到。
如何由前缀和快速判断是否优美
设该数组的前缀和为 $sum$ ，则其区间和为 $su{m}_r-su{m}_{l-1}$，由取模操作可以得到，当 $su{m}_{l-1}==su{m}_r$ 时该区间是优美的。所以不难由前缀和，通过组合数学算出优美度。设前缀和为 $i$ 的有 $d_i$ 个，所以由一个已知数组可以得到的优美度为 $\sum C_{d_i}^2$。
如何快速构造符合的数组
由于前缀和和数组一一对应，考虑构造满足的前缀和，可以设 $DP$ 解决，
设 $d{p}_{i,j,k}$ 为仅使用 $i$ 个数字内占用了 $j$ 个位置，其优美度为 $k$ 的数组数量。
考虑转移
每添加一个新的数字的可能数，在 $d{p}_{i,j,k}$ 中，设加入的数字数为 $x$ ，剩余的空位显然为 $n-y$，所以转移式为 $$d{p}_{i+1,j+x,k+C_x^2}+=d{p}_{i,j,k}\ast C_{n-y}^x(1\le x\le n-y)$$
提前特殊处理初始化 $i=0$ 的情况，
暴力枚举四维即可，复杂度为 $O(64^5)=$ 能过 。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=70;
const int mod=998244353;
int dp[N][N][N*N];
int C[N][N];
int inc[N],fac[N];
int n,t,k;
int ksm(int a,int b)
{
    int ret=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ret=1ll*ret*a%mod;
        a=1ll*a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}
void init()
{
    for(int i=0;i<N;i++)                 //打表组合数
    {
        C[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++)
            C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
    }
}
int main()
{
    init();
    scanf("%d%d%d",&n,&k,&t);
    for(int i=0;i<=n;i++)                    //初始化，容易算得i个零的情况可能为C(n,i)
        dp[0][i][C[i+1][2]]=C[n][i];
    for(int i=0;i<k-1;++i)             //转移
    {
        for(int j=0;j<=n;++j)
            for(int l=0;l<=t;++l)
            {
                if(!dp[i][j][l])
                    continue;
                for(int x=0;j+x<=n&&l+C[x][2]<=t;++x)
                    dp[i+1][j+x][l+C[x][2]]=(1ll*dp[i+1][j+x][l+C[x][2]]+dp[i][j][l]*C[n-j][x])%mod;
            } 
    }
    printf("%d",dp[k-1][n][t]);
}