二进制运算以及源码、补码、反码概念讲解

前言

在学习框架源码底层时，有非常多的二进制运算，由于大学学习计算机基础时开小差，没有学习牢固，所以在看底层源码的算法逻辑时遇到二进制运算比较吃力，遂通过一篇博文来总结下二进制运算，记录一下。

读者认真阅读完整片文章，看完如果还不懂可以来砍我~

正文

1. 二进制基础

因为计算机底层是通过二进制来进行计算的，所以在计算机底层会将十进制转换为二进制。十进制就是逢10进1，二进制就是逢2进1。

就十进制来说，比如一百可以分为三位，个位、十位、百位, 用位数在下列表示 101这个十进制数。

百位	十位	十位
1	0	1

因此对于十进制来说，越往上进制位越大，比如千位、万位。

同理，对于二进制来说也有对应位数, 如果表示二进制的4。

4(2^2)	2(2^1)	1(2^0)
1	0	0

1 * 4 + 2 * 0 + 1 * 0 = 4

如果要表示二进制的5，则如下图

4(2^2)	2(2^1)	1(2^0)
1	0	1

4 * 1 + 2 * 0 + 1 * 1 = 5

如果要表示二进制的11，则如下图

8(2^3)	4(2^2)	2(2^1)	1(2^0)
1	0	1	1

8 * 1 + 4 * 0 + 2 * 1 + 1 * 1 = 11

在计算机中，1字节有8位二进制位。

2. 二进制运算

在计算机系统中，二进制运算包括了二进制逻辑运算和二进制算术运算，而逻辑运算和算术运算的主要区别在于，逻辑运算是按位进行，不像算术运算中位与位之间有进位和借位的联系。下面介绍的与、或、异运算就属于二进制的逻辑运算。

2.1 二进制逻辑运算

对于二进制的逻辑运算，记住一个口诀：

1. 与（&）运算

   运算规则：
   0&0=0, 0&1=0, 1&0=0, 1&1=1

   二者为1则为1，否则都为0。

2. 或（|）运算

   运算规则：
   0|0=0，0|1=1，1|0=1，1|1=1

   遇1则1，否则为0。

3. 异（^）或运算

   运算规则：
   0^0=0, 1^0=1, 0^1=1, 1^1=0

   同为0，异为1。

由于算术运算中会设计符号数的运算，所以先介绍二进制中的源码、补码以及反码。

2.2 二进制算术运算

在二进制算术运算中，包括加、减、乘、除。

加法

0 + 0 = 1
1 + 1 = 10
1 + 0 = 1
0 + 1 = 1

乘法

0 × 0 = 0
1 × 0 = 0
0 × 1 = 0
1 × 1 = 1

减法

0－0=0
1－0=1
1－1=0
0－1=1

除法

0÷1=0
1÷1=1

3. 二进制的源码、补码以及反码

二进制源码是什么？

由于数字有正负之分，所以在计算机中通过在一个数的二进制的最高位存放符号（0为正，1为负），而其他数值位存放着就是数值的二进制位, 这就是二进制源码。需要知道的是，正数的源码、补码和反码都是一样的。

源码有缺点，就是不能直接进行运算，因为运算会出错。源码是有符号数的最简单的编码方式，便于输入输出，但作为代码加减运算时较为复杂。

二进制反码是什么？

反码通常是用来由源码求补码或者由补码求源码的过度码，根据定义可以根据补码的整数和小数中"0"的表示形式各有2中，+0和-0不一样。以8位机器数为例，
整数的"+0"源码为：0,0000000，反码为：0,0000000。整数的"-0"源码为：1,0000000，反码为：1,1111111。

反码跟源码是正数时一样，为负数是，除符号位外，其他为所有数值取反。

一句话概括就是，反码是用于计算负数补码的过度码。

二进制补码是什么？

由于数字有正负之分，所以在计算机中通过在一个数的二进制的最高位存放符号（0为正，1为负），而这就是机器数的补码。还需要知道的一点是，在计算机中是负数是以补码的形式存储的，由于正数的源码和补码相同，所以正数以源码或者补码的形式存储在计算机中都是正确的说法，而负数的源码和补码则不相同。二进制运算后，会将补码结果转换为源码之后，再计算其十进制值。

总结起来补码的作用就是：

1. 使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则.
2. 使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计 所有这些转换都是在计算机的最底层进行的，而在我们使用的汇编、C等其他高级语言中使用的都是原码。

源码和反码之间怎么转换？

源码除了最高位的符号位外，其他位数全部取反，得到的就是反码。

补码和反码之间怎么转换？

补码则是在反码的基础上加一。

小结

对于源码、补码和反码，三者均有符号位和数值位两部分，最高位为符号位，其余位均为数值位。符号位用0表示正，1表示负，而数值位三者表示方法都不同。在计算机系统中，数值一律用补码来
表示和存储，原因在于补码可以将符号位和数值域统一处理，同时加法和减法也可以同一处理，此外源码和补码互相转换，其运算过程是相同的，不需要额外的硬件电路。
一个负整数和其补数相加和为模，对一个整数的补码再求补码等于该整数自身，补码的正零与负零表示方法相同。

4. 二进制的移位运算符

在二进制中，移位运算符是一种位操作运算符。移位运算符可以在二进制的基础上对数字进行平移。按照平移的方向和位数填充规则可以将移位运算符分为三种：<<（左移）、>>（有符号右移）和>>>（无符号右移）。

4.1 <<（左移）

<<表示的是左移，将运算数的二进制整体左移指定的位数，低位用0补齐，因此左移不存在有符号和无符号的区别。

例如在java中int类型的十进制数16，由于在java中，int类型占4字节，1字节有8位， 所以其二进制源码表示为：

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000

16 << 2 ，就是相当于将16的二进制数整体左移2为，然后低位补0，移位操作后：

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 0000

那么我们再来看下对于负数的左移运算。

-16，其二进制源码为：
1000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000

反码：
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110 1111

补码：
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0000

-16 << 2 , 对补码进行向左移2位, 低位补0
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1100 0000
由于移位后最高位仍然为1，表示负数，所以需要借助反码来运算

反码为补码 - 1，则结果为：
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1011 1111

源码为反码取反，则结果为：
1000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 0000
-1 * (2 * 2 ^ 6) = -64

小结：对于左移运算，a << b，相当于 a * 2 ^ b。

4.2 >> （有符号右移）

在计算机中>> 表示有符号右移，就是将二进制整体右移指定位数，如果是正数，则高位用0补齐，如果是负数，则高位用1补齐。

仍然用java中16和-16来进行有符号右移操作，

16 >> 2

通过二进制补码是运算，最终结果为4，同样的-16 >> 2 结果为-4，详细的通过二进制运算结果这里就不展示了，参考左移中列出的详细步骤。

小结：对于有符号右移来说，如果是正数，移动指定位数后，高位用0来补齐；如果是负数，高位用1补齐。

4.3 >>>（无符号右移）

在计算机中通过>>>来表示无符号右移，不管是正数还是负数，高位都用0来补齐。

对于正数，无符号右移>>>和有符号右移>>结果都相同。

同样的用java中16和-16来进行无符号右移运算。

16 >>> 2 结果为 4。

而对于负数来说，无符号右移结果就需要进行计算了。

-16的补码为：
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0000

则无符号右移，结果为：
0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1100

由于正数的源码、补码和反码都一样，所以移位后的源码为：
0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1100，计算二进制得。

1 * 2 ^ 29 + 1 * 2 ^ 28 + 1 * 2 ^ 27 + 1 * 2 ^ 26 + … + 1 * 2 ^ 2 = 1073741820。

tip 可以通过小技巧来快速计算结果

聪明的读者估计能发现，在二进制位数中，高位的十进制值为其余右边进制之和 + 1，读者可以自行去验证。
所以，

0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1100
^
取该位置计算得出的十进制值，然后-1，再减去 1 * 2^1 + 1 * 2 ^ 0，即：
2 ^ 30 - 1 - 2 ^ 1 - 2 ^ 0 =1073741824 - 1 - 2 - 1 = 1073741820。

5. 示例

比如变量 a & (-a) 用二进制怎么运算：

10 & (-10)

&是按位与，首先在计算机中数字都是以补码的形式存在的，比如：

int a = 10

+10，它的源码为：

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1010

由于正数的源码和补码相同，所以它的补码为：

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1010

对于-10，

它的源码为：

0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000 1010

它的反码是源码的数值域取反，即：

1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0101

它的补码是反码+1，即：

1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0110

由于二进制运算都是用补码来计算的，所以 a & (-a) ，就是：

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1010 & 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0110 = 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010

对于二进制来说，由于最高位为0，所以可以知道该数为正数，所以源码、补码和反码都一样。
而由于除开最高位符号位外的所有高位都为0，所以可以只看低四位，即0010，换算十进制后为2。

所以如果a=10，则 10 & (-10) = 2。

算完了&，那么再来计算下 ^ 和 | ，看下计算机中是如何通过补码来计算的。

10 ^ (-10)

由于10的补码为：
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1010
-10的补码为：
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0110

则10 ^ -10 的补码结果为：
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1100

由于最高位为1，则该数为负数，需要借助反码来计算其源码。

反码为补码 - 1，则结果为：
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1011

源码为反码取反，结果为：
1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100
则十进制结果为-4。

10 | (-10)

由于10的补码为：
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1010
-10的补码为：
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0110

由于最高位为1，则该数为负数，需要借助反码来计算其源码。

则10 | -10 的补码结果为：
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110
反码结果为补码 - 1，则结果为：
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1101
源码为反码结果取反，结果为：
1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010

计算的十进制结果为 -2。

通过一个简单的示例分析，相信读者已经弄清楚了源码、补码和反码之间的关系以及在二进制运算中是如何运用的了。

在开源框架底层中算法会用到大量的二进制运算， 例如：在最近学习的Netty底层源码中，DefaultEventExecutorChooserFactory的底层源码有一个方法, 就是通过 a & (-a)来运算的。

@Override
public EventExecutorChooser newChooser(EventExecutor[] executors) {
    if (isPowerOfTwo(executors.length)) {
        return new PowerOfTowEventExecutorChooser(executors);
    } else {
        return new GenericEventExecutorChooser(executors);
    }
}
/*
 * 用于计算val是否是2的幂，例如2、4、8、16
 */
private static boolean isPowerOfTwo(int val) {
   return (val & -val) == val;
}

private static final class PowerOfTowEventExecutorChooser implements EventExecutorChooser {
    private final AtomicInteger idx = new AtomicInteger();
    private final EventExecutor[] executors;

    PowerOfTowEventExecutorChooser(EventExecutor[] executors) {
        this.executors = executors;
    }

    /*
     * 通过二进制与运算计算出下标索引值，原理如下：
     * 假设：idx = 2 , 二进制表示为：0000 0010
     * executors.length = 16, 则executors.length - 1 = 15, 二进制表示为：0000 1111
     * 
     * 由于是与运算，且executors.length高四位为0000，则只需要注意低四位的运算。
     * 则： 0010 & 1111 = 0010 ，十进制表示为2，
     * 
     * 所以如果idx = 3, 则二进制为：0011 & 1111 = 0011 也为3，
     * 等idx = 16时，二进制为：0001 0000 & 1111 = 0000 0000 ，即十进制的1，
     * 这样就实现了在0 ~ 15 范围内循环获取下标索引的目的。
     */
    @Override
    public EventExecutor next() {
        return executors[idx.getAndIncrement() & executors.length - 1];
    }
}

private static final class GenericEventExecutorChooser implements EventExecutorChooser {
    private final AtomicInteger idx = new AtomicInteger();
    private final EventExecutor[] executors;

    GenericEventExecutorChooser(EventExecutor[] executors) {
        this.executors = executors;
    }

    /*
     * 通过取余运算，计算出下标索引
     */
    @Override
    public EventExecutor next() {
        return executors[Math.abs(idx.getAndIncrement() % executors.length)];
    }
}

总结

在计算机中，二进制的运算是比较重要的，可以看到在Java的许多开源框架底层就运用到了大量的二进制与或非运算，所以学好二进制的基础概念是非常重要的。