位运算3 最短Hamilton路径

深海鱼！

已于 2022-05-31 16:32:33 修改

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分类专栏：算法竞赛进阶指南文章标签：动态规划算法 c++

于 2022-05-31 15:46:06 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_52804888/article/details/125066925

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该博客探讨了一种动态规划策略来解决从0到n-1的最短Hamilton路径问题，其中涉及n个点之间的距离信息。利用位运算和状压dp，通过状态转移矩阵实现高效求解，时间复杂度为O(n^2*2^n)，但实际效率更高。博客还提供了C++代码示例进行解释。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

在这里插入图片描述
题目大意：n个点（从0开始），给出任意两点之间的距离，问从0到n-1的最短Hamilton路径。
Hamilton路径：从0到n-1不重不漏地经过每个点恰好一次。

题解：考虑状压dp，用dp[i][j]表示状态为i，最后处于点j的最短路径长度。答案就是dp[(1<<n)-1][n-1]。现在考虑状态如何进行转移。首先dp[1][0]=0，表示最初处于0号点。每次转移，枚举边，取min。由于从0到(1<<n)-1，前面的状态不会由后面的状态得到，故枚举状态时从0到(1<<n)-1即可。转移时需要判断是否合法：即每个点只经过一次。

时间复杂度：O(n2*2^n)。
由于存在许多非法状态，故真正的时间复杂度比O(n2*2^n)小得多。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 21,INF = 0x3f3f3f3f;
int dp[1<<N][N];
int g[N][N];
int n;
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)scanf("%d",&g[i][j]);
    memset(dp,0x3f,sizeof dp);
    dp[1][0]=0;
    for(int i=1;i<(1<<n);i++){
        for(int j=0;j<n;j++){
            if(dp[i][j]>=INF)continue;
            for(int k=0;k<n;k++){
                if(i>>k&1)continue;
                dp[i|(1<<k)][k]=min(dp[i|(1<<k)][k],dp[i][j]+g[j][k]);
                //cout<<(i|(1<<k))<<" "<<k<<" "<<dp[i|(1<<k)][k]<<endl;
            }
        }
    }
    printf("%d\n",dp[(1<<n)-1][n-1]);
    return 0;
}