最优比率生成树

题目大意

题目要求我们求成本和总长度的比值的最小值。
这是一道0/1分数规划问题。

分析：

我们首先需要构建一个完全图，在该完全图上求满足题目要求的树。
假设树中每一段路径的成本是a_i ，长度是b_i ，则比值为 $({\sum }_{i=1}^{n}a)/({\sum }_{i=1}^{n}b)$。
我们要做的就是求该式子的最小值，可以用二分来求最小值。
假设当前二分的值为mid，我们只需要判断$({\sum }_{i=1}^{n}a)/({\sum }_{i=1}^{n}b)<=mid$是否成立。
如果成立，我们就让r=mid，否则l=mid。

将上式变形：$({\sum }_{i=1}^{n}a)<=mid\ast ({\sum }_{i=1}^{n}b)$
继续变形：$({\sum }_{i=1}^{n}a)-mid\ast ({\sum }_{i=1}^{n}b)<=0$
所以我们只需要在check时，将边权变为成本-mid*路径长度，构建最小生成树，判断最后的最小生成树的边权之和是否小于等于0即可。

代码：

//构建完全图
//构建最小生成树
//二分
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
const double eps=1e-8;
double g[N][N],d[N][N];
double dis[N];
int n;
int st[N];
struct Node{
    int x,y,h;
    void read(){
        cin>>x>>y>>h;
    }
    double get_dis(Node b){
        double dx=x-b.x,dy=y-b.y;
        return sqrt(dx*dx+dy*dy);
    }
}cun[N];
bool check(double x){
    double res=0;
    double gg=0,dd=0;
    memset(st,0,sizeof st);
    for(int i=1;i<=n;i++)dis[i]=1e9;
    dis[1]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        //找不在集合内且距离集合最小的点
        int t=-1;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(!st[j]&&(t==-1||dis[j]<dis[t]))t=j;
        }
        st[t]=1;
        res+=dis[t];
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(!st[i]){
                dis[i]=min(dis[i],g[t][i]-x*d[t][i]);
            }
        }
    }
    return res<=0;
}
void solve(){
    for(int i=1;i<=n;i++)cun[i].read();
    //构建完全图
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            g[i][j]=abs(cun[i].h-cun[j].h);
            d[i][j]=cun[i].get_dis(cun[j]);
        }
    }
    //二分
    double l=0,r=1e12;
    while(fabs(l-r)>eps){
        double mid=(l+r)/2;
        if(check(mid))r=mid;
        else l=mid;
    }
    printf("%.3lf\n",l);
}
int main(){
    while(cin>>n){
        if(n==0)break;
        solve();
    }
}