数位DP.

原创已于 2022-03-15 22:14:04 修改 · 976 阅读

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#动态规划 #算法

于 2022-02-03 12:04:26 首次发布

这篇博客介绍了一个用于计算书籍页码中每个数字出现次数的算法。通过动态规划的方法，该程序可以有效地计算从1到指定页码N（N≤10^9）中，0到9各数字的使用频率。代码使用C++编写，实现了DP[i][j][k]表示长度为i以j为开头的数字有多少个数字k，并输出了每种数字的个数。

题目描述

一本书的页数为N，页码从1开始编起，请你求出全部页码中，用了多少个0，1，2，…，9。其中—个页码不含多余的0，如N＝1234时第5页不是0005，只是5。

输入格式

一个正整数N(N≤10^9)，表示总的页码。

输出格式

共十行：第k行为数字k-1的个数。

DP[i][j][k]表示长度为i以j为开头的数字有多少个数字k

#include<iostream>
#include<vector>
#include<cmath>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn=15;
int dp[maxn][maxn][maxn],sum[maxn][maxn];
int res[maxn];
void DP(int num)
{
    vector<int> v;
    int cp=num;
    while(num)
    {
        v.push_back(num%10);
        num/=10;
    }
    int t=v.size();
    for(int i=t-1;i>=0;i--) {
        int x = v[i];
        res[x]++;
        int MOD=pow(10,i);
        if(x>=1) {
            if (i == t - 1) {
                for (int j = 0; j <= 9; j++) {
                    res[j] += sum[i][j];
                }
                //cout<<res[0]<<endl;
            } else {
                for (int j = 0; j <= 9; j++) {
                    for (int k = 0; k <= 9; k++) {
                        res[k] += dp[i][j][k];
                    }
                }
            }
        }
        res[v[i]]+=cp%MOD;
        //cout<<cp%MOD<<endl;
        for(int j=1;j<v[i];j++) {
            for (int k = 0; k <= 9; k++) {
                res[k] += dp[i + 1][j][k];
            }
        }
        if(i!=t-1&&x!=0) res[0]+=MOD;
    }
}
signed main()
{
    int num=1;
    for(int i=0;i<=9;i++) dp[1][i][i]=1,sum[1][i]=1;
    //sum[1][0]--;
    for(int i=2;i<=9;i++)
    {
        num*=10;
        for(int k=0;k<=9;k++)
        {
            sum[i][k]+=sum[i-1][k];
            for(int j=0;j<=9;j++)
            {
                if(j==k) dp[i][j][k]+=num;
                for(int t=0;t<=9;t++)
                dp[i][j][k]+=dp[i-1][t][k];
                if(j!=0)
                {
                    sum[i][k]+=dp[i][j][k];
                }
            }

        }
    }
    int n;cin>>n;
    DP(n);
    if(res[0]>0) res[0]--;
    for(int i=0;i<=9;i++)
    {
        cout<<res[i]<<endl;
    }
}