组合数+dp

• 给出一个小写字母字符串 T，长度为 nnn。
• 求有多少长度为 m(m≤105)m (m\leq10^5)m(m≤105) 的小写字母字符串 S，满足 T 是 S 的一个子序列。

• 我们从合法的新串下手，考虑制定出一种方法来从中找出原串。

• 对这种方法的要求是：按照这种方法 找出的新串 的下标 必须唯一。

• 一种合理的匹配方式是：

  • 假如原串是：abcabcabc
  • 假如新串是：aaabbbcccaaabbbccaaccaaabbbcccaaabbbccaaccaaabbbcccaaabbbccaacc
  • 匹配应该是：aaabbbcccaa[a]bb[b]ccaac[c]aaabbbcccaa[a]bb[b]ccaac[c]aaabbbcccaa[a]bb[b]ccaac[c]
  • 匹配规则是：对于某个被匹配到的字符 chchch 开始，从它右边第一个开始，到它右边下一个被匹配的字符左边第一个为止，不得出现跟 chchch 相同的字符。
  • 能发现，按照这种方法 找出的新串 的下标是唯一的。
  • 总结一下这种匹配方式：

  • • 我们知道，由子序列 SSS 构造原序列 TTT，问方案数这类问题，就是要保证，
    • 如果你在 TTT 确定 TTT 的第 iii 个字符 tit_iti​，匹配的是 SSS 中的第 ppp 个字符 sps_psp​，
    • 并且你在 TTT 确定 TTT 的第 jjj 个字符 tjt_jtj​，匹配的是 SSS 中的第 p+1p+1p+1 个字符 sp+1s_{p+1}sp+1​，
    • 除了 ti=spt_i=s_pti​=sp​，tj=sp+1t_j=s_{p+1}tj​=sp+1​ 以外，还要保证，ti+1...tj−1t_{i+1}...t_{j-1}ti+1​...tj−1​ 的所有字符，都不包含 tit_iti​。

• 现在考虑按照这种匹配思路，从原串开始，构造新串。

• void Sol()
  {
      dp[0][0] = 1;
      for (int i=1; i<=m; i++)    //从你决定开始匹配原串第一个字符之前，放什么都行，每一个位置有26种放法。
      {
          dp[i][0] = dp[i-1][0] * 26 % MOD;
      }
       
      for (int i=1; i<=m; i++)//枚举新串
      {
          for (int j=1; j<=min(i, n); j++)//枚举原串
          {
              //对于新串的第 i 个字符，有两种情况：
              //一种是第i个字符匹配上原串的第j个字符
              //一种是第i个字符在前i-1个已经匹配上原串的第j个字符的情况下，有25种放法。
              dp[i][j] += (j-1<0?0:dp[i-1][j-1]) + dp[i-1][j] * 25 % MOD, dp[i][j] %= MOD;
          }
      }
      printf("%lld\n",dp[m][n]);

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  Link doesn't remember bbb, so he wonders the number of possible sequences bbb.
   

  A bracket sequence is valid if it satisfies any of the following conditions:

• Its length is 000.
• It can be represented as (A)(A)(A), where AAA is a valid bracket sequences.
• It can be represented as ABABAB, where AAA and BBB are both valid bracket sequence.
• 
  A sequence aaa is a subsequence of a sequence bbb if aaa can be obtained from bbb by deletion of several (possibly, zero or all) elements.

• #include<iostream>
  #include<cstring>
  #include<cstdio>
  #include<string>
  using namespace std;
  typedef long long ll;
  const int N=205,mod=1e9+7;
  ll dp[N][N][N];
  void solve()
  {
      int n,m;cin>>n>>m;
      string s;
      cin>>s;
      for(int i=0;i<=n;i++)
      {
          for(int j=0;j<=m;j++)
          {
              for(int k=0;k<=m;k++) dp[i][j][k]=0;
          }
      }
      dp[0][0][0]=1;
      for(int i=1;i<=m;i++)
      {
          for(int j=0;j<=i;j++) 
          {
              dp[0][i][j]+=(j-1<0?0:dp[0][i-1][j-1])+dp[0][i-1][j+1];
              dp[0][i][j]%=mod;
          }
      }
      for(int i=1;i<=m;i++)
      {
          for(int j=1;j<=min(i,n);j++)
          {
              for(int k=0;k<=i;k++)
              {
                  int d=-1+2*(s[j-1]=='(');
                  if(k-d>=0&&k-d<=m) dp[j][i][k]+=dp[j-1][i-1][k-d];
                  if(k+d<=m&&k+d>=0) dp[j][i][k]+=dp[j][i-1][k+d];
                  dp[j][i][k]%=mod;
              }
          }
      }
      cout<<dp[n][m][0]<<endl;
  }
  int main()
  {
      int t;cin>>t;
      while(t--)
      {
          solve();
      }
  }