数学建模——整数规划

最新推荐文章于 2024-11-15 10:57:23 发布

S杰仔S

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文章标签：数学建模线性规划

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_51564046/article/details/118571195

本文讲解了整数规划的基本概念，区分了纯整数规划、混合整数规划和0-1型整数规划，并介绍了0-1思维在约束条件处理中的应用。重点讲述了如何通过matlab的intlinprog函数求解整数线性规划实例，以及为何直接舍入非整数解不可靠。

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上章回顾：

https://blog.youkuaiyun.com/qq_51564046/article/details/118568020?spm=1001.2014.3001.5501

在上一篇文章中，我们学习到了线性规划。

接下来，我们来看另一种规划问题，整数规划。在数学规划中的变量限制为整数时，我们称之为整数规划。若线性规划中的模型，变量限制为整数，我们则称之为整数线性规划。

整数规划可以分为两类：

（1）纯（完全）整数规划：变量全限制为整数时

（2）混合整数规划：变量部分限制为整数

（3）0-1型整数规划：变量x仅取值0或1；我们称这样的变量叫01变量，也可称为二进制变量或者01变量。

0-1思维：针对于一个问题是或者否，表示两种状态。在图论中较为常用，两个部分是否有连通。连通为1不通为0。

用0-1思维解决相互排除的约束条件。

2个互相排斥的约束条件。例子：x1=0 或 500<=x1<=800

可以改写为： $\left\{\begin{matrix} 500y\leqslant x1\leqslant 800y & \\ y=0 or 1 & \end{matrix}\right.$

m个互相排斥的约束条件： $a_{i1}x_{1}+.....+a_{in}x_{n}<=b_{i}$

加入一个变量y保证只有一个约束条件起作用，同时引入一个变量M保证效果

$a_{i1}+...+a_{in}x_{n}\leqslant b_{i}+(1-y_{i})M$

整数线性规划的求解：目前没有方法能有效的求解一切整数规划问题。（tips:不能想做把得到的带有分数小数的解经过舍入得到整数解。可能会导致整数解不是最优解，或者整数解不在可行域）

这里我们可采用matlab中的intlinprog函数求解。

eg:

clear all;
%{
某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，
每箱的体积、重量、可获利润以及托运所受限制见下表。
问每集装箱中两种货物各装多少箱，可使所获利润最大。
货物     体积       重量     利润
甲        5          2         20
乙        4          5         10
托运限制  24         13
/集装箱
%}
f=[-20;-10];
intcon = [1,2];
A=[5,4;2,5];b=[24;13];
lb=zeros(2,1);ub=[inf,inf];
x=intlinprog(f,intcon,A,b,[],[],lb,ub)

intlinprog函数详解：

f：目标函数的系数矩阵。（这里是求最小值。如要求最大值，所有系数*-1即可）

intcon:整数所在位置。（注意这个是m，从1开始）如：[1，2]

A：不等式约束条件的系数矩阵

b:不等式约束条件值

Aeq：等式约束条件的系数矩阵

Beq：等式约束条件值

lb：变量约束的下界

ub：变量约束的上限

intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,Beq,lb,ub)(其中如果没有就用空矩阵表示)

如果是01型的整数规划问题，上限变为1即可。