数学建模笔记—— 整数规划和0-1规划

整数规划和0-1规划

1. 模型原理

1.1 基本概念

在规划问题中，有些最优解可能是分数或小数，但对于某些具体问题,常要求某些变量(全部或部分)的解必须是整数。例如,当变量代表的是机器的台数，工作的人数或装货的车数等。为了满足整数的要求，初看起来似乎只要把已得的非整数解舍入化整就可以了。实际上化整后的数不见得是可行解和最优解，所以应该有特殊的方法来求解整数规划。在整数规划中，如果所有变量都限制为整数，则称为纯整数规划；如果仅一部分变量限制为整数，则称为混合整数规划。整数规划的一种特殊情形是0-1规划，它的变数仅限于0或1。

整数规划：

1. 线性整数规划

   matlab可进行求解，在线性规划的基础上，加入决策变量取整数的条件

2. 非线性整数规划

   无特定算法，只能用近似算法，如蒙特卡罗模拟，智能算法

3. 0-1规划

   特殊的整数规划，matlab中也只能求解线性0-1规划，对于非线性0-1规划也只能求近似解

1.2 线性整数规划求解

$[x,fval]=intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)$

其中：

• $f$——目标函数的系数变量（必须是求最小值形式下的）
• $intcon$——$intcon$中的值指示决策变量x中应取整数值的分量
• $A,b$——不等式约束条件的变量系数矩阵和常数项矩阵（必须是$\le$形式）
• $Aeq,beq$——等式约束条件的变量系数矩阵和常数项矩阵
• $lb,ub$——决策变量的最小取值和最大取值

$intcon$的用法：决策变量如果有三个：$x_1,x_2,x_3$；若$x_1$和$x_2$是整数，则$intcon=[1,3]$

1.3 线性0-1规划的求解

仍然使用$intlinprog$函数求解，只需要限定$lb$和$ub$即可

例如：三个决策变量：$x_1,x_2,x_3$，