第2章 整数规划

2.1 整数规划

决策变量（部分或者全部）限制为整数——【整数规划】

目前求解整数规划的方法，往往只适用于整数线性规划

【注】：如不加特殊说明，则一般指整数线性规划

整数线性规划模型大致可分为两类：

• 决策变量全限制为整数时，称为纯(完全)整数规划
• 决策变量部分限制为整数时，称为混合整数规划

求解整数线性规划方法分类：

1. 分枝定界法——可求纯或混合整数规划
2. 匈牙利法——解决指派问题("0-1"规划特殊情形)
3. 蒙特卡洛法——求解各种类型规划

2.2 0-1型整数规划

0-1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量$x_j$仅取值0或1

$x_j$仅取值0或1——>可由约束条件$0\le x_j\le 1$且$x_j$为整数代替

2.2.1 相互排斥的约束条件

存在m个相互排斥的约束条件【M是充分大的常数】

2.2.2 指派问题

2.3 整数线性规划模型

Matlab中规定整数线性规划的标准形式为

式中：$f$, $x$, intcon, $b$, beq, lb, ub为列向量，其中$f$称为价值向量，$b$称为资源向量；$A$, Aeq为矩阵

2.4 Matlab软件求解——intlinprog函数

Matlab求解整数线性规划问题有一个缺陷：必须把所有的决策变量化成一维决策向量

Matlab中求解混合整数线性规划的命令为：

• [x,fval]=linprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

式中：x返回决策向量的取值；fval返回目标函数的最优值

​ f 为价值向量；intcon为整数变量的地址

​ A和b对应线性不等式约束；Aeq和beq对应线性等式约束；lb和ub分别对应决策向量的下界向量和上界向量

【注】：没有等式约束时，对应的参数矩阵为空矩阵