B - Chessboard

B - Chessboard

分析：

• 阅读理解题，组合数学，神仙思维

  " the shortest distance between any two blocks would remain unchanged after they were painted"

  主要是这句话，不能让任意两个访问过的格子的最短距离发生改变，想一下可以发现以下几条规则：

  • 首先，从始至终都是在同一个连通块，然后不断向外扩展

  • 到最后，画满的情况下，任意两点的最短路都是曼哈顿距离

  • 最后，结束的地方一定是四角之一

    为了满足上述几个规则，在画的过程中，在同一列（同一行）出现未被访问的格子夹在已访问的格子中间的情况是绝对不允许的

    为了避免这种情况的发生，就要按照矩形的方式去扩展（一行一行，一列一列）

• 刚开始，选一个点，即$1\times 1$的矩形，那么接下来，就要变成$2\times 1$ or $1\times 2$的矩形

  若变成$r\times c$，接下来扩展行（$(r+1)\times c$） 扩展列（$r\times (c+1)$）

  到最终变成$n\times m$，总共是扩展$(n+m-2)$次，行扩展$(n-1)$次，贡献为${(}_{n-1}^{n+m-2})$

  再根据终点不同，逆推回去，扩展方式都是唯一的，方案数再乘4即可

• 注意：特判n=1 or m=1 的情况

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

const int N=2e6+5, mo=1e9+7;
int ksm(int a,int b,int p=mo)
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=ans*a%p;
        b>>=1; a=a*a%p;
    }
    return ans;
}
int fac[N], inv[N];
void init(int n)
{
    fac[0]=inv[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mo; 
    inv[n]=ksm(fac[n],mo-2);
    for(int i=n-1;i>=1;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mo; 
}
int C(int n,int m) // 组合数
{
    return fac[n]*inv[m]%mo*inv[n-m]%mo;
}
int f[N];
void solve()
{
	int n,m;
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	if(n==1 && m==1) cout<<"1\n";
	else if(n==1 || m==1) cout<<"2\n";
	else cout<<C(n+m-2,n-1)*4%mo<<"\n";
}
signed main()
{
	init(N-2);
    int t=1;
    cin>>t;
    while(t--) solve();
}