leetcode热题100.爬楼梯（从递归到动态规划)

Problem: 70. 爬楼梯

题目

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

输入：n = 2

输出：2

解释：有两种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶

2. 2 阶

示例 2：

输入：n = 3

输出：3

解释：有三种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

递归

假设 n=8，我们可以分情况讨论：

• 假如最后一步走了1个台阶，那么我们的问题可以缩小成：到达第7个台阶有多少种方法
• 加入最后一步走了2个台阶，我们的问题可以缩小成：到达第6个台阶有多少种方法

综上所述，设f(n)为到达第层的方法数，则$f(8)=f(7)+f(6)$
我们推广一下得到这样的公式：
$f(n)=f(n-1)+f(n-2)$
递归的出口为 f(1) = 1,f(0) = 0
我们先用递归的方法写一遍

# 会超时的递归代码
class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        def dfs(i: int) -> int:
            if i <= 1:  # 递归边界
                return 1
            return dfs(i - 1) + dfs(i - 2)
        return dfs(n)

复杂度分析：

• 时间复杂度：$o(2^n)$,搜索树可以近似为一棵二叉树，树高为 $o(n)$,所以节点数为 $o(2^n)$
• 空间复杂度：$o(n)$,递归需要n层的空间

我们尝试优化一下算法，我们观察上面的递归时发现，我们的递归函数很多时候入参是相同的，比如n为19，那么对于它的子状态f(17)和f(18)而言，f(16)这个状态都是要算一遍的，那么我们可不可以在第一次计算f(16)的时候就缓存一下f(16),避免重复计算呢？答案是，当然可以。
这里我们用Python的注解实现了缓存，其实就和Java的hashMap一样

class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        @cache
        def dfs(i: int) -> int:
            if i <= 1:  # 递归边界
                return 1
            return dfs(i - 1) + dfs(i - 2)
        return dfs(n)

复杂度分析

• 时间复杂度：$o(n)$，一共有n个数字要算
• 空间复杂度：$o(n)$,我们保存了n个数的答案

递推

我们发现f(n)的状态可以从f(n-1)和f(n-2)这两个状态转化过来，那么我们换一种角度思考，我们可以不可以直接从下往上的递归出f(n)呢？这当然也是可以的。

class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        a,b,c = 0,0,1
        for i in range(n):
            a = b
            b = c
            c = a+b
        return c

复杂度分析

• 时间复杂度：计算了n次，$o(n)$
• 空间复杂度：常数级的空间$o(1)$

下一篇我们讲讲如何通过矩阵快速幂求解这个问题，将时间复杂度进一步优化。