假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?
注意:给定 n 是一个正整数。
示例 1:
输入: 2 输出: 2 解释: 有两种方法可以爬到楼顶。 1. 1 阶 + 1 阶 2. 2 阶
示例 2:
输入: 3 输出: 3 解释: 有三种方法可以爬到楼顶。 1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶 2. 1 阶 + 2 阶 3. 2 阶 + 1 阶
solution 1 递归超时
class Solution:
def climbStairs(self, n: int) -> int:
if n==1:
return 1
elif n==2:
return 2
else:
return self.climbStairs(n-2) + self.climbStairs(n-1)
时间复杂度:O(2^n)。树形递归的大小为 2^n
空间复杂度:O(n)。递归树的深度可以达到 n。
solution 2 动态规划
第 ii 阶可以由以下两种方法得到:
-
在第 (i-1)(i−1) 阶后向上爬一阶。
-
在第 (i-2)(i−2) 阶后向上爬 22 阶。
所以到达第 ii 阶的方法总数就是到第 (i-1)(i−1) 阶和第 (i-2)(i−2) 阶的方法数之和。
令 dp[i]dp[i] 表示能到达第 ii 阶的方法总数:
dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]dp[i]=dp[i−1]+dp[i−2]
class Solution:
def climbStairs(self, n: int) -> int:
if n==1:
return 1
dp = [None]*(n+1)
dp[1] = 1
dp[2] = 2
for i in range(3,n+1):
dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2]
return dp[n]
-
时间复杂度:O(n),单循环到 n 。
-
空间复杂度:O(n)。dp 数组用了 n 的空间。
执行用时 : 52 ms, 在Climbing Stairs的Python3提交中击败了74.10% 的用户
内存消耗 : 13 MB, 在Climbing Stairs的Python3提交中击败了93.69% 的用户
solution 3 斐波那契数列
再往下想一步就可以把空间复杂度降低了哎
可以很容易通过分析得出 dp[i]dp[i] 其实就是第 ii 个斐波那契数。
Fib(n)=Fib(n-1)+Fib(n-2)Fib(n)=Fib(n−1)+Fib(n−2)
class Solution:
def climbStairs(self, n: int) -> int:
if n==1:
return 1
if n==2:
return 2
first = 1
second = 2
for i in range(3,n+1):
re = first+second
first = second
second = re
return re
执行用时 : 84 ms, 在Climbing Stairs的Python3提交中击败了6.40% 的用户
内存消耗 : 13 MB, 在Climbing Stairs的Python3提交中击败了95.20% 的用户
-
时间复杂度:O(n)。单循环到 n,需要计算第 n 个斐波那契数。
-
空间复杂度:O(1)。使用常量级空间。