算法基础之数学知识——组合数问题之卡特兰数

题目：
给定 n 个 0 和 n 个 1，它们将按照某种顺序排成长度为 2n 的序列，求它们能排列成的所有序列中，能够满足任意前缀序列中 0 的个数都不少于 1 的个数的序列有多少个。

输出的答案对 10^9+7 取模。

输入格式
共一行，包含整数 n。

输出格式
共一行，包含一个整数，表示答案。

数据范围
1≤n≤10^5

输入样例：
3

输出样例：
5

思想：
题目中给定的0和1的个数一样，排列的序列前缀中的0不小于1的个数，所以我们应该想到可以用DFS来做，但是发现数据范围有10^5那么大，用DFS绝对会超时，因此我们不得不想一下其他的方法。首先，我们可以想象一下0和1具体的意义。
（1）第一种情况，我们可以想到0和1字面上的意义，0就当作什么都没有做，1当作做了什么。根据要求前缀0个数不少于1，我们再限定一个标准，每一步算一下当前的动作会不会达到这个要求（标准），所以我想到——在一条线上，0表示不走，1表示走，走的话标准值减1，不走的话标准值加1。根据每一个行为（走或者不走）计算一下标准值，只要当前的状态不会让标准值变为负数则表示符合要求。

每一步判断一下当前的状态是否会让标准值变成负数，起始标准值为0，如果第一步走的话，那么标准值就会减一，就会让标准值变成负数，所以我们第一步只能不走，但是这个方法难以实现，因为我们只能判断当前这种状态是否达到标准，和下一次我们能怎么走，很难计算出题目的答案——有多少种方案。因为我们不能记录过去，也难以预见将来的情况。

（2）根据第一种情况的弊端，我们需要找到一个能记录过去和未来可能发生的情况的方法，所以我们想到可以将一维变成二维——多一个维数以记录过去和未来的情况。我们建立x-y轴，往右走表示0，往上走表示1，标准则是不能超过y = x这条线。

因为0和1的个数是一样的，所以我们到头来会发现无论怎么选，最终到达的坐标绝对会是（n，n），而且一共会有C2n n种情况（从2n步中选取n步作为往上走或往右走）而再把非法的情况计算出来，用总的情况减去非法的情况就能得出答案。

下面来计算一下非法的情况：
我们发现，只要路线超过y = x这条线往上，那么就是非法的情况，所以我们设置一个警戒线y = x + 1，只要路线经过了这个警戒线，那么此次路线就不合法，就应该被计算进非法的路线个数。如果路线经过了这个警戒线，那么我们让碰见这个警戒线之后的路线全部以警戒线为对称轴翻转，我们会发现——由于0和1数目的一致，到头来非法的路线通过警戒线为对称轴翻转之后，终点全部在（n - 1，n + 1）这个点上， 即2n步里选择了n - 1个0选择了n + 1个1，所以非法的情况为C2n (n - 1)或C2n (n + 1)，当然，这两个组合数都是相等的。最终的结果为C2n n - C2n (n - 1)。

代码如下：

#include<iostream>

using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 200005, p = 1e9 + 7;
int fact[N];
int infact[N];
//快速幂
int qmi(int a, int i, int p)
{
    int res = 1;
    while(i){
        if(i & 1)   res = (ll)res * a % p;
        a = (ll)a * a % p;
        i >>= 1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    int res = 1;
    int a = 2 * n, b = n;
    for(int i = a; i >=  n + 2; i --)   res = (ll)res * i % p;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)    res = (ll)res * qmi(i, p - 2, p) % p;
    cout << res << endl;
}```