【ACWing】850. Dijkstra求最短路 II

记录算法题解

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分类专栏： AC 搜索与图论文章标签：算法图论数据结构 c++

于 2021-02-17 02:17:29 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_46105170/article/details/113816744

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本文介绍了如何使用堆优化的Dijkstra算法解决含有重边和自环的有向图中，从1号节点到n号节点的最短路径问题。在给定的数据范围内，该算法的时间复杂度为O(mlogn)，空间复杂度为O(n)。代码示例展示了算法的具体实现。

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题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/description/852/

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为非负值。求 $1$ 号点到 $n$ 号点的最短距离，如果无法从 $1$ 号点走到 $n$ 号点，则输出 $- 1$ 。

输入格式：
第一行包含整数 $n$ 和 $m$ 。接下来 $m$ 行每行包含三个整数 $x$ ， $y$ ， $z$ ，表示存在一条从点 $x$ 到点 $y$ 的有向边，边长为 $z$ 。

输出格式：
输出一个整数，表示 $1$ 号点到 $n$ 号点的最短距离。如果路径不存在，则输出 $- 1$ 。

数据范围：
$1\le n,m\le 1.5\times 10^5$
$0\le e\le 10000$
$e$ 是边长。

由数据范围得知这个图是个稀疏图，可以用堆优化版的Dijkstra算法来做。具体思路可以参考https://blog.youkuaiyun.com/qq_46105170/article/details/113816110。堆优化，主要可以优化”选取当前未算出的点中最短路最近的那个点“这一步上，可以开个最小堆，每次都pop出最短路最近的那个点。但是由于在更新的时候，某些点的上次更新的最短路距离其实已经入堆了，但是直接更新堆里的元素非常麻烦，简单起见，可以让顶点重复入堆，只需在出堆的时候判断一下即可，即当发现出堆的元素最短路之前已经算出来过了，那就直接略过。否则的话，出堆的点的最短路就已经算出了，用它来更新其邻接点的最短路，如果其邻接点最短路被更新成更小的值了，则入堆。代码如下：

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
using PII = pair<int, int>;

const int N = 150010, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
int h[N], e[N], w[N], ne[N], idx;
int dist[N];
bool vis[N];

void add(int a, int b, int c) {
  e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

int dijkstra() {
  memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
  dist[1] = 0;

  priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII> > heap;
  heap.push({0, 1});

  while (heap.size()) {
    auto &[dis, v] = heap.top(); heap.pop();
    if (vis[v]) continue;
    if (v == n) break;

    vis[v] = true;
    for (int i = h[v]; ~i; i = ne[i]) {
      int j = e[i];
      if (!vis[j] && dist[j] > dis + w[i]) {
        dist[j] = dis + w[i];
        heap.push({dist[j], j});
      }
    }
  }

  return dist[n] == INF ? -1 : dist[n];
}

int main() {
  memset(h, -1, sizeof h);
  cin >> n >> m;

  while (m--) {
    int a, b, c;
    cin >> a >> b >> c;
    add(a, b, c);
  }

  cout << dijkstra() << endl;
}

时间复杂度 $O(m\log n)$ ，空间 $O (n)$ 。