平方数之和（双指针、数学）

平方数之和（双指针 | 数学）

给定一个非负整数 c ，你要判断是否存在两个整数 a 和 b，使得 a² + b² = c 。

使用 sqrt函数

class Solution {
    public boolean judgeSquareSum(int c) {
        for (long a = 0; a * a <= c; a++) {//如果不用long a*a会溢出
            double b = Math.sqrt(c - a * a);
            if (b == (int) b) {//利用精度 判断是否能够开平方
                return true;
            }
        }
        return false;
    }
}

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双指针解法

假设 a ≤ b，初始化 a=0，b=sqrt( c )，进行如下操作：

• 如果 a² + b² = c ，我们找到了题目要求的一个解，返回 true；
• 如果 a² + b² < c，此时需要将 a 的值加 1，继续查找；
• 如果 a² + b² ＞c, 此时需要将 b 的值减 1 , 继续查找。

class Solution {
    public boolean judgeSquareSum(int c) {
        long left = 0;
        long right = (long) Math.sqrt(c);
        while (left <= right) {
            long sum = left * left + right * right;
            if (sum == c) {
                return true;
            } else if (sum > c) {
                right--;
            } else {
                left++;
            }
        }
        return false;
    }
}

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费马平方和定理

一个非负整数 c 如果能够表示为两个整数的平方和，当且仅当 c 的所有形如 4k + 3 的质因子的幂均为偶数。

class Solution {
    public boolean judgeSquareSum(int c) {
        for (int base = 2; base * base <= c; base++) {
            // 如果不是因子，枚举下一个
            if (c % base != 0) {
                continue;
            }
            // 计算 base 的幂
            int exp = 0;
            while (c % base == 0) {
                c /= base;
                exp++;
            }
            // 根据 Sum of two squares theorem 验证
            if (base % 4 == 3 && exp % 2 != 0) {
                return false;
            }
        }
      	// 例如 11 这样的用例，由于上面的 for 循环里 base * base <= c ，base == 11 的时候不会进入循环体
      	// 因此在退出循环以后需要再做一次判断
        return c % 4 != 3;
    }
}