大整数乘法（分治法）

大整数乘法（分治法）

题目描述：设X和Y都是n位的十进制整数，计算它们的乘积X*Y。

如果按照我们日常的计算方法，应该就是将两个数逐位相乘，最后加起来得到最终的结果，时间复杂度为O（n²）;

因此我们思考，能不能采用分治法来降低时间复杂度。

我们将X和Y按照上述方式划分，故可得：

**XY = ac×10ⁿ + (ad + bc)×10^n/2 + bd； **

但是经过分析可以看出，这样处理并没有降低时间复杂度，那么我们是否可以减少乘法计算来降低O？

XY = ac×10ⁿ + ((a-b)(d-c) + ac + bd)×10^n/2 + bd

XY = ac×10ⁿ + ((a+b)(d+c) - ac - bd)×10^n/2 + bd

这样以来我们只需要计算三次乘法即可。

但是需要注意一点，事实上因为 n/2为 floor除法，故而 n的奇偶性会导致结果出错，下面附上数学分析：
$$\begin{gathered} n/2=[n/2] \\ X=a\times 10^{[n/} \end{gathered}$$