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“Probability” 是概率论的核心概念，涉及到事件发生的可能性。以下是关于概率的基本概念和一些重要的要点：定义：计算：P(A)=m/n例如，在掷一个六面的骰子时，掷出 3 的概率是 1/6。类型：规则：P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A∩B)=P(A)×P(B)是Manim库中用于创建条形图的函数。它允许用户通过一组值创建一个条形图，其参数可以调整条形的外观和布局。 以下是函数及其参数的详细解释：values:bar_names:y_range:x_length:y_length:bar_

在这个上下文中，函数是指变量之间的数学关系。当我们可视化这些函数时，我们使用对象来表示这些函数的图形。

在直角坐标系中，我们可以使用有序对来定位点，(x,y)哪里x表示水平位置和y表示点的垂直位置。由于我们只需要两个方向就可以在平面上定位点，因此我们将这个系统称为二维坐标系。现在，如果我们想在空间中找到点，我们需要三个数字：x,y和z.我们调用(x,y,z)，

这段代码实现了一个简单的坐标系，展示了一个对数刻度的 y 轴和一个抛物线函数（y = x²），同时还设置了坐标轴和标签的颜色。该示例展示了 Manim 中如何使用坐标轴和图形绘制以及自定义样式的基本用法。运行结果：函数：这个函数取一个点（在本例中是圆的右边缘点），并返回相对于坐标轴的坐标值，使您能够轻松地在渲染中标记和使用该点的坐标。重要参数: 得到圆右边的点位置。: 将该点转换为坐标轴的坐标。通过这种方式，该程序能够在动画中有效地展示几何对象及其坐标。

这段代码通过定义一个Polynomial类来表示多项式，并实现了多项式的基本操作，如求值、相乘和相除。用户可以通过输入多项式的系数来创建多项式对象，并进行各种运算。代码清晰易读，适合用于学习多项式相关的数学概念和运算。

奇异值分解（SVD）是一种重要的矩阵分解技术，在统计学、信号处理和机器学习等领域有广泛应用。对于任意给定的矩阵 A（可以是任意形状的矩阵），SVD将其分解为三个特定的矩阵的乘积：其中，U是一个 m×m 的正交矩阵，表示左奇异向量；S 是一个 m×n 的对角矩阵，包含了非负的奇异值，按照从大到小排序；是一个 n×n 的正交矩阵，表示右奇异向量。奇异值反映了矩阵的特征，最大的奇异值对应着数据中最重要的结构或信息。

二次曲面是三维空间中的一种重要的几何对象，它由一个二次多项式方程定义。重要性质截面：二次曲面与平面的交集可以产生不同类型的曲线（例如：椭圆、抛物线和双曲线），这与所取平面的倾斜程度有关。顶点：某些二次曲面（如抛物面和圆锥面）有一个明显的顶点。对称性：许多二次曲面，如椭球和双曲面，具有对称性，这为其数学分析提供了便利。应用二次曲面在多个领域都有实际应用，包括：工程与建筑：设计和分析曲面结构，如桥梁和建筑外墙。计算机图形学：生成和渲染复杂的三维形状。物理学：理解光线传播、引力场等现象时，二次曲

二次曲面是可以化为一般形式的任意方程的图形 这里面A,...,J是常数。我们不可能把它们都列出来，但是有一些标准方程所以这里是一些更常见的二次曲面的列表。这是椭球体的一般方程。。这是一个典型椭球体的草图。接下来我们用Manim实现该椭球体的绘制。运行结果： 导入库：代码开始时导入了 包，这是一个用于创建数学动画的 Python 库。类定义：构造方法：设置背景和椭球体参数：创建椭球体：添加平行线：添加椭球体和坐标轴：设置相机角度：注释和备用代码：如果 a= b= c然后我们得到一个球体。注意，我们只

前面的内容在我们提过，函数在某个位置的导数是它在该位置上的斜率。那斜率数什么呢？我们可以找到两点之间的斜率。就像下面的图像一样：但是我们如何找到斜率呢？没有什么办法可完成的！就像跟他一样：但有个方法：但是对于导数，我们使用了一个小的差异......；...然后让它。就像它一样：我们来求导数吧!。为了求函数y = f(x)的导数，我们使用斜率公式:从f(X)变为 f(X +Δx):跟下面的例子一样：很多情况下我们用代替Δx趋向0。导数通常写成是这样的 :的导数等于2x"或者简称为"

通过前面的极限的定义，现在是计算极限的时候了。然而，在此之前，我们需要一些极限的性质，这将使我们的工作变得简单一些。我们先来看看这些。接下来的例子中。

通过前面的极限的定义，现在是计算极限的时候了。然而，在此之前，我们需要一些极限的性质，这将使我们的工作变得简单一些。我们先来看看这些。

注意，符号的变化非常小，如果您不注意，实际上可能会错过。唯一的区别是位在限制的“lim”部分之下。对于右极限,(注意“+”)这意味着我们知道只会看x>a 。同样的，对于右极限,(注意“-”)这意味着我们知道只会看x

用极限的定义来证明下面的极限。 要用极限的定义证明 ，我们可以使用极限的定义： 设f(x)在包含a的开区间中对所有x≠a有定义，设L为实数。然后 如果，任意一个，存在一个 ，以至于如果对于所有x在f的定义域内,然后 用定义我们得到：, 同时 要用极限的定义证明 ，我们可以使用极限的定义：对任意的，存在 ，使得当 时，有 ，其中 和 。 证明步骤如下： 1. 计算 2. 设 : 我们需要证明，当 x 足够接近 4 时，。 这可以简化为： 因为 。

设f(x)在包含a的开区间中对所有x≠a有定义，设L为实数。然后如果，任意一个，存在一个以至于如果对于所有x在f的定义域内,然后# 设置背景颜色为白色# 创建坐标轴x_range=[0, 4, 1], # x轴范围从0到4，刻度间隔为1y_range=[0, 4, 1], # y轴范围从0到4，刻度间隔为1axis_config={"color": BLUE}, # 坐标轴的颜色设置为蓝色# 创建函数图像 f(x) = x^2。

一，变化率的介绍这里我们要考虑一个函数，它表示一些量，其变化为x不同。例如，也许f(x)表示x纪要。或者是汽车行驶的距离x小时。在这两个例子中，我们使用了x来表示时间。答案是肯定的x不必表示时间，但它可以生成易于可视化的示例。我们在这里要做的是确定多快f(x)在某个时候发生变化，比如x=a.这称为，有时简称为瞬时f(x)在x=a.与切线问题一样，此时我们能做的就是估计变化率。那么，让我们继续上面的例子并考虑一下f(x)作为随时间变化的事物，以及x是时间测量。

我们将看看微积分研究中两个相当重要的问题。现在关注这些问题有两个原因。

确保在实例化 CubicBezier 时提供了所有必需的参数：起点、终点、起始控制点和结束控制点。这样可以避免 TypeError 并正确创建贝塞尔曲线。

总之，这些类允许对向量场的表示和可视化，在物理仿真、流体动力学以及其他需要表示空间中的方向和大小的应用中非常重要。每个类都以特定的方式解释和展示向量场固有的概念。

类的主要功能是便于管理复杂的曲线对象。通过将曲线的不同组成部分转变为独立的子对象（submobjects），可以让用户对每一部分进行单独的操作，比如单独动画、颜色变化或是其他样式调整。这对于需要精细控制或动画效果的场景非常有用，特别是在数学和物理可视化中。

点及其相关类用于创建和管理各种维度的点云可视化表示。它们为定义、分组和可视化点集合提供了工具，无论是作为单独元素、线条、平面还是填充区域。这些类为在图形应用程序中处理复杂数据可视化提供了灵活性。

三维曲面是指在三维空间中定义的曲面，其通常用数学方程来描述。三维曲面的例子包括平面、球面、圆柱面、锥面等。它们可以通过参数方程或隐式方程进行定义。

通常用于在几何或图形处理上下文中表示一个三维的棱柱体。在这个例子中，构造一个具有特定维度的棱柱体。表示一个函数或构造函数，用于创建一个棱柱（Prism）对象。用于在三维空间中创建一个球体。它通常用于计算机图形学、游戏开发或物理模拟中，以表示球形对象。是用来在三维空间中绘制一条线的一个函数（通常出现在绘图库如 Matplotlib 中）。是一个用于创建球体对象的函数或构造函数。

Manim中的三维对象类提供了丰富的工具,帮助开发者在三维空间中创建各种形状和场景。这些类包括基本的三维几何体,如立方体、球体、圆锥体等,以及一些更复杂的形状,如圆环面和参数化曲面。通过设置不同的参数,开发者可以自定义这些对象的大小、位置、颜色等属性,从而构建出复杂的三维场景。以Cube类为例,它用于创建一个三维立方体。该类有几个重要的参数,包括用于设置立方体的边长,fill_color和用于设置填充和边框的颜色,以及用于设置边框的宽度。通过组合使用这些参数,开发者可以创造出形状各异的立方体。同时,

莫比乌斯带的定义：只有一侧和一条边缘的特殊表面。莫比乌斯环是一种具有特殊拓扑性质的二维物体，通常可以通过将一条长方形的带子的一端旋转180度后连接到另一端来构造。它的数学表达式可以用参数方程来表示。在三维空间中，莫比乌斯环的参数方程可以表示为：另外，莫比乌斯环的一个重要特性是它只有一个边界和一个面，这使得它在拓扑学中具有重要的意义。，一种单侧表面，可以通过在首先将矩形条带的一端扭曲一半后固定矩形条的末端来构造。这个空间表现出有趣的特性，例如只有一侧，并且在从中间分开时保持为一体。

是一个方便的工具，可以在你的动画或演示中有条理地展示多个内容点，通过参数灵活控制外观和布局。MathTex是一个强大的工具，可以帮助您在 Manim 中优雅地呈现数学表达式。通过灵活的参数设置，您可以控制公式的样式、颜色及其渲染方式，以满足各种动画和演示的需要。是一种方便的方式来渲染单个 LaTeX 数学表达式。通过灵活的参数设置，您可以轻松控制字体大小、边框样式、对齐方式和环境选择，以适应各种演示和动画场景。4.TexTex。

函数将集合的每个元素与另一个元素的一个元素完全关联起来 设置（可能是同一组）。

Brace是 Manim 中用于创建大括号（curly braces）的一个对象类。它有几个子类，自定义了不同的功能。

类的方法，用于获取矩阵的所有行。是 Manim 库中的一个类，用于创建显示数字矩阵的对象，其元素以小数格式显示。类的方法，用于为矩阵的每一列设置不同的颜色。这个方法允许用户通过传入颜色列表，轻松地为矩阵的列指定颜色。类的方法，返回矩阵的所有列。是 Manim 中用于创建可视化矩阵的类，允许用户将矩阵的每个元素渲染为。类的方法，用于获取矩阵中所有元素的一个列表。类的方法，用于为矩阵的每一行设置不同的颜色。以下是一个简单的使用示例，演示如何创建一个。：为矩阵的每一行设置不同的颜色。对象，表示矩阵的单个条目。

矩阵是数字（实数或复数）或函数的有序矩形排列，可以表示为矩阵用{ } ，[ ] 或 （ ） 括起来。假设我们想表达甲有20支笔的信息。我们可以将其表示为[20]，但[ ]内的数字是甲拥有的笔数。现在，如果我们必须表达甲有 20 支钢笔和 7 支铅笔。我们可以将其表示为[20 7]但[ ]内的第一个数字是钢笔的数量，而另一个数字是铅笔的数量。现在让我们假设我们想表达拉姆和他的两个朋友乙和丙拥有钢笔和铅笔的信息，如下：甲 有 20 支钢笔和 7 支铅笔，

在这个上下文中，函数是指变量之间的数学关系。当我们可视化这些函数时，我们使用对象来表示这些函数的图形。

总而言之，这段代码创建了一个动态的 3D 马鞍面示例，展示了三维曲面和坐标系，并使用了旋转动画来增加视觉效果。: 三维坐标系中 X 轴的范围，格式为 (起始值, 结束值, 步长)。动画将马鞍面和坐标系组合在一起，围绕 Z 轴进行 360 度的旋转，动画持续 8 秒。: 三维坐标系中 Y 轴的范围，格式同上。: 三维坐标系中 Z 轴的范围，格式同上。: 对 Z 轴的配置，通常用于设置轴的颜色、粗细等。: 轴的细分数量，即轴上分割的部分数，默认为 20。: 光泽度，影响表面的光泽度效果，默认为 0.5。

在直角坐标系中，我们可以使用有序对来定位点，(x,y)哪里x表示水平位置和y表示点的垂直位置。重点P由有序的三元组表示，(xo,yo,zo)，我们称之为xo,yo和zo的坐标P.就像在直角坐标系中一样，我们调用xo这x-坐标yo这y-坐标 和zo这z-坐标。这是 的位置P(xo,yo,zo)：从原点开始，计数xo沿x-轴，从我们对x-轴P是yo平行于的单元y-轴 和zo平行于z-轴。现在，如果我们想在空间中找到点，我们需要三个数字：x,y和z.我们调用(x,y,z)，过去，我们一直在处理平面和矩形坐标。

极坐标的介绍是 Manim（一个用于数学动画的Python库）中的一个类，用于创建极坐标平面。与笛卡尔坐标系不同，极坐标系是基于角度和半径来定位点的。具体来说，这里的每个点由一个角度和距离原点的距离表示。PolarPlane。

的表达式称为极性表示法，即曲线方程 用极坐标表示的称为极坐标方程。极坐标中的曲线图称为极坐标函数。就像笛卡尔曲线可以绘制在直线轴上一样，极坐标也可以在径向轴上绘制绘图，如图所示 在上图中。紧随其后的是 极坐标本身并不是唯一的;，应该被解释为两个论点的反转切线，它考虑了 的。，则极性曲线在x轴上是对称的;更重要的是，在以相同方式绘制为。，则其在y轴上是对称的;如果将极坐标方程中的。在极坐标中，给出了半径向量，由。在其复数方程的图形表示。，则其在原点上是对称的。是到原点的径向距离，给出的极性曲线的弧长为。

在微积分中，切线是函数图形在某一点的瞬时变化率，表示该点的导数。相较于割线，切线与函数在该点的斜率一致。利用 Manim，可以通过选择一个特定的 x 值，在该点计算函数图的切线。首先，确定该点的 y 值和切线的斜率（导数）。然后，生成切线并将其可视化，帮助人们更直观地理解函数的局部行为。这种可视化不仅清晰展现切线的特点，还能为学习微分提供直观支持，激发对数学的兴趣。

get_riemann_rectangles()是 Manim 中用于生成 Riemann 矩形图的函数，通常用于教学或可视化数学概念，如积分、面积的计算等。以下是对该函数及其参数的详细解释：函数功能该函数生成一组矩形，表示在给定的曲线下的 Riemann 积分近似。矩形的高度由曲线在指定范围内的值决定，宽度由dx参数确定。

在数据可视化和数学演示中，将数据点与坐标系中的轴连接起来对于理解和分析数据的关系至关重要。通过绘制从坐标轴指向特定点的线，可以直观地展示数据点在二维空间中的位置。这种方法在多种场景下都具有重要意义，如函数图像的分析、几何图形的构造，以及在教育场合中帮助学生理解概念。使用 Manim 库中的 get_lines_to_point 方法，用户可以轻松地实现这种可视化。这一方法允许从坐标系的 x 轴和 y 轴向指定的点（通常以二维坐标表示）绘制线条。通过此方法，用户不仅能够指定目标点的坐标，还可以调整线条的颜

集成是一种添加切片以找到整体的方法。积分可用于查找区域、体积、中心点和许多有用的东西。

​get_area是一个用于计算和绘制图形下方区域的函数，常用于图形动画库（如 Manim）get_area(graph, x_range=None, color=(ManimColor('#58C4DD'), ManimColor('#83C167')), opacity=0.3, bounded_graph=None, **kwargs)它主要用于在特定图形（graph）下方填充颜色，以便可视化特定区间上方的面积。

是 Manim 中用于计算图形在给定点的切线角度的函数。