最小生成树——kruskal

最新推荐文章于 2025-04-24 19:00:01 发布

张某人的blog

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分类专栏：算法文章标签：算法数据结构贪心算法图论数学建模

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_45218336/article/details/110353763

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题目

给定一个无向带权连通图，用贪心法求解这个图的最小生成树，要求如下：
（1）输入：用户给出顶点个数n，给出两个顶点之间的边的权值。
（2）输出：构成最小生成的边，以及对应的最小耗费。

最小生成树定义：

一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。

两个求最小生成树的经典算法：

1、prim（普里姆）算法（又称加点法）
2、kruskal（克鲁斯卡尔）算法（又称加边法）

贪心算法定义：

在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。

贪心算法求解问题的条件：

1、贪心选择性质——所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择，即贪心选择来达到。这是贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动态规划算法的主要区别。
2、最优子结构——一个问题的最优解包含其子问题的最优解。

最小生成树的最优子结构证明：

（1）W(T)=W(T1)+W(T2)+W(u,v)
（2）如果可以为G1找到一个耗费比T1更小的生成树T1’，则我们可以为图G构造一个新的生成树T’={T1’}∪{T2} ∪{(u,v)}，它的耗费要比T更小，这和T是G的最小生成树是矛盾的。
（3）所以：T1是子图G1的最小生成树。
在这里插入图片描述

最小生成树的贪心选择性质证明：

假设：已知一个图的最小生成树T如图所示，边（u，v）是连接U和V-U的权值最小的边，但是没有被包含T中。
在这里插入图片描述
（1）在u到v的简单路径上找到一条过渡边（u ’,v ’ ）,它的权值c[u ’][v ’ ]> c[u ][v ]。
（2）用边（u ,v ）替代（u ’,v ’ ），可以生成一个新的生成树T ’ ，它的耗费比T小，这和假设是矛盾的。

贪心选择策略：

每次为子集U找一条最小的边连接到{V-U}的顶点（局部最优），最终实现全局最优。

kruskal（克鲁斯卡尔）算法基本思想如下：

第一步：把G=(V,E)的所有边按权值由小到大排序。
第二步：初始时最小生成树T=空集，依次扫描各边，
对每条边作如下操作：
（1）如果在T中加入该边不构成回路，则加入该边；
（2）否则，放弃该边。直到T中包含了n-1条边，得到一个最小生成树。

4.Kruskal算法求最小生成树过程图

在这里插入图片描述

4.Kruskal算法—算法实现过程

（1）将G的n个顶点看成n个孤立的连通分支。
（2）将所有的边按权从小到大排序（为了做出基于当前的最好选择）。
（3）从第一条边开始，依次查看每一条边，并按下述方法连接2个不同的连通分支：
当查看到第k条边(v,w)时，如果端点v和w分别是当前2个不同的连通分支T1和T2中的顶点时，就用边(v,w)将T1和T2连接成一个连通分支，然后继续查看第k+1条边；如果端点v和w在当前的同一个连通分支中，就直接再查看第k+1条边。这个过程一直进行到只剩下一个连通分支时为止。

具体代码如下：

#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "string.h"
#define INF 999

/**************用无向带权邻接矩阵来存储无向连通带权图*************************/
typedef struct {
   
	int weight;//权值
}ArcNode;

typedef struct {
   
	char node[10];//顶点向量 
	ArcNode arcs[10][10];//权重 
	int m,n;//顶点数和的边数
}AdjMatrix;

//找顶点v在顶点数组中的下标 
int LocateVex(AdjMatrix *t,char v){
    
	for (int i = 0; i < t->m; i++)
		if (t->node[i] == v)
			return i;
	return -1;
}
//初始化顶点矩阵 
void creat(AdjMatrix* t){
   
	int i,j;
	printf("please input the vexnum and arcnum:");//顶点数和边数 
	scanf("%d%d",&t->m,

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