克鲁斯卡尔(Kruskal )算法——求最小生成树贪心算法

克鲁斯卡尔算法是一种用于求解最小生成树问题的贪心算法。最小生成树是一个连通图的生成树，其边的权重之和最小。

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一、原理

克鲁斯卡尔算法的核心思想是按照边的权重从小到大逐渐选择连通图的边，直到所有顶点都被连接为止。在每一步中，选择当前权重最小的边，若该边的两个顶点尚未连接，则将其添加到最小生成树的边集合中，并将这两个顶点归为同一个连通分量。通过不断地选择权重最小的边，保证了最小生成树的边权重之和最小。

二、步骤

下面是克鲁斯卡尔算法的具体步骤：

1. 创建一个空的最小生成树的边集合。
2. 将图中的所有边按权重从小到大进行排序。
3. 遍历排序后的边集合，依次选择权重最小的边。
4. 若该边的两个顶点尚未在最小生成树的边集合中相连(即添加该边不会形成环)，则将该边添加到最小生成树的边集合中，并将这两个顶点归为同一个连通分量。
5. 重复步骤3和步骤4，直到最小生成树的边数等于顶点数减1或者遍历完所有边。

假设遍历到一条由顶点 A 和 B 构成的边，而顶点 A 和顶点 B 标记不同，此时不仅需要将顶点 A 的标记更新为顶点 B 的标记，还需要更改所有和顶点 A 标记相同的顶点的标记，全部改为顶点 B 的标记。

图 1

连通网例如，使用克鲁斯卡尔算法找图 1 的最小生成树的过程为：

首先，在初始状态下，对各顶点赋予不同的标记(用颜色区别)，如下图所示：