0-1背包问题(DP)

问题描述：

给定n种物品和一个背包，物品i的重量是Wi，其价值为Vi，设计一个动态规划算法选择装入背包的物品，使得装入背包的物品的总价值最大。在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次，也不能只装入物品i的一部分。要求如下：
（1）输入：要求可以由用户输入物品的个数、物品的重量和相应的价值，以及背包的总容量。
（2）输出：背包的总价值，以及哪几个物品放入了背包。

算法思路

首先，0-1问题具有最优子结构，即，设（y1,y2,…,yn）yi∈{0,1}（0表示不选，1表示选）是0-1背包问题的一个最优解，则（y2,y3,…,yn）是子问题

的一个最优解。
设m(i，j)是，背包容量为j，可选择物品为第i，i+1，…，n个物品时0-1背包问题的最优值，例如:m(3,10),表示，背包容量为10，可以选择的物品为第3到第n个，使得选择的物品价值最大。所以，m(1,j)为背包问题的解.

分析：

1、如果第i个物品的重量大于背包的容量，则第i个物品不装进背包，即

        m(i，j)=m(i+1,j)

2、如果第i个物品的重量小于背包的容量，则会有以下两种情况：
(a)如果把第i个物品装入背包，则背包中物品的价值=m(i+1,j-w[i])+v[i]
(b)如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品价值=m(i+1,j)
取二者中价值最大的作为最优解。

     max(m(i+1,j), m(i+1,j-w[i])+v[i])

边界条件：

当j=0时，即背包容量为0，则m(i,j)=0；
当i=n时，即只能选择第n个物品，如果w[i] <= j ，即背包能装下最第n个物品，则m(i,j)=v[n]，否则，m(i,j)=0；

综上，

动态规划算法求解过程:

初始：m[i][0]=0,i=1,2,……，n
	 计算m[n,j]，j=1,2，……,c	(c为背包容量) 
第1步：计算m[n-1,j]，j=1,2，……,c
第2步：计算m[n-2,j]，j=1,2，……,c
……
第i步： 计算m[n-i,j]，j=1,2，……,c
……
第n-2步：计算m[2,j]，j=1,2，……,c
第n-1步：计算m[1,j]，j=1,2，……,c

具体算法：

#include"stdio.h"
#include"stdlib.h"
#include"string.h"
int max(int x,int y){
   
	int retValue = x>y?x:y;
	return retValue;
}
void knapsack(int n,int c,int *w,int *v,int **m){
   
	int i,j;
	//当背包重量为0时，c[i][0]=0; 
	for(i=0;i<=n;i++)
		m[