最小生成树的prim算法贪心正确性的证明

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#算法

本文阐述了在选择最优解时，特别是使用Prim算法构建最小生成树时的关键原理。通过归纳法证明，展示了如何确保所选边构成的路径始终为最优解，深入探讨了算法的逻辑与应用。
首先，一定有一个最优解包含了权值最小的边e_1（prim的第一步），因为如果不是这样，那么最优的解不包含e_1，把e_1加进去会形成一个环，任意去掉环里比e_1权值大的一条边，这样就构造了更优的一个解，矛盾
用归纳法，假设prim的前k步选出来的边e_1，…， e_k是最优解的一部分，用类似的方法证明prim的方法选出的e_k+1 一定也能构造出最优解。
prim算法和kruskal算法的简洁证明
jziwjxjd的博客
07-27 892
文章目录prim树算法算法流程正确性kruskal算法算法流程正确性 本文是对网上资料的一些整合,附加了部分个人的理解,主要参考下面两篇博客 prim证明 Kruskal证明 prim树算法 算法流程 一开始任意选定一个点,然后在所有与选定点相邻的边中选出一条代价最小且另一端没有被选中的边加入生成树,然后反复迭代这个过程即可得到最小生成树. 正确性 设最小生成树为GGG,使用primprimprim算法得到的生成树为G′G'G′ 他们加入的边只有xxx处不同,考虑primprimprim算法第一次遇到不同的
matlab 绘制最小生成树 prim法,最小生成树问题---Prim算法与Kruskal算法实现（MATLAB语言实现）...
weixin_36326408的博客
03-16 3106
2015-12-17晚，复习，甚是无聊，阅《复杂网络算法与应用》一书，得知最小生成树问题(Minimum spanning tree)问题。记之。何为树：连通且不含圈的图称为树。图T=(V,E),|V|=n,|E|=m,下列关于树的说法等价：T是一个树。T无圈，且m=n-1。T连通，且m=n-1。T无圈，但每加一新边记得到唯一一个圈。T连通，但任舍去一边就不连通。T中任意两点，有唯一道路相连。何为...
萌新关于最小生成树MST的Prim算法贪心正确性的浅显理解
rilegoule_的博客
08-18 765
【纪念本萌新的第一篇博客】 这篇文章是写给刚入门的自己看的，如果有别的同学也有类似的疑惑，欢迎交流♂。 最小生成树，既是从一个含有N个点的图中，选出N-1条边，并连接这N个点，使得选出的边的权值之和是所有方案中最小的。 网上关于Kruskal和Prim的讲解已经很多了，这里就不赘述。我在看关于Prim算法的讲解的时候，心中最疑惑的问题是：为什么这样的贪心是正确的？ 粗略地想了一下，现在来浅谈我的理解。 1.先谈谈Prim的具体算法 举个例子，比如我们现在要求这个图的MST。 ...
最小生成树的Prim算法（贪心选择）
12-09
C++实现使用贪心算法，通过使用最小优先权队列实现贪心选择。首先输入结点数和边数，再输入无向图各边权重在邻接矩阵中的有效值（两点之间无路径默认边权为-1），输出结果为最小生成树中的结点，每行两个数字，是两个结点编号，表示这两点连通，即有路径存在。
prim和kruskal算法的正确性证明（贪心、最优子结构）
weixin_44083819的博客
03-29 2710
不失一般性，设由prim算法得到的最小生成树为G，其中度最小的2个相邻节点为a,b，要证明最优子结构，此时需合并a,b为一个整体节点c,并删除连接a,b的边y，此时得到的新生成树记作G'，若G'是最小生成树，原问题正确性得证；若G'不是最小生成树，则存在另一最小生成树G''，且。不失一般性，设由Kruskal算法得到的最小生成树为G，其中权值最小的边为e，要证明最优子结构，此时需合并以e为边的两个节点a,b为一个整体节点c,并删除边e，此时得到的新生成树记作G'，若G'是最小生成树，原问题正确性得证；
prim算法正确性证明
weixin_46034490的博客
04-04 429
只要S是V的真子集，就做如下的贪心选择：选取满足条件i属于S，j属于V-S，且C[i][j]最小的边，并将顶点j添加到S中，这个过程一直进行到S=V时为止，选取到的所有边恰好构成G的一颗最小生成树。首先，一定有一个最优解包含了权值最小的边e_1（prim的第一步），因为如果不是这样，那么最优的解不包含e_1，把e_1加进去会形成一个环，任意去掉环里比e_1权值大的一条边，这样就构造了更优的一个解，矛盾。， e_k是最优解的一部分，用类似的方法证明prim的方法选出的e_k+1 一定也能构造出最优解。
数据结构实验报告9-图-Prim算法求最小生成树-实验内容与要求.docx
07-06
Prim算法是一种贪心算法，用于在一个加权图中找到一棵包含所有顶点的最小生成树。其基本思想是从任意一个顶点出发，每次选择与当前生成树连接且权重最小的边加入到生成树中，直到所有的顶点都被包含在内为止。该算法...
最小生成树——Prim算法
Oops的博客
01-03 1715
算法简介 Prim算法采用与Dijkstra、Bellmaxn-Ford算法一样的“蓝白点”思想：白点代表已经进入最小生成树的点，蓝点代表未进入最小生成树的点。 算法描述 以1为起点生成最小生成树。 minn[v]表示蓝点v与白点相连的最小边权。 sum表示最小生成树的权值之和。 初始化 minn[v]=oo(v!=1) minn[1]=0 sum=0 简单的过程 for(int i-1;i<=n;i++) 寻找minn[v]最小的蓝点u; 将u标记为白点; sum+=minn[u]; for(与白
Prim 算法正确性证明
qq_69515036的博客
03-29 456
Prim 算法的正确性证明
图论算法基于贪心策略的Kruskal最小生成树算法解析：Python实现与通信网络优化应用
最新发布
10-13
随后深入剖析Kruskal算法的贪心策略、执行步骤（边排序、并查集判断环、合并连通分量）和正确性证明；并通过Python代码实现了该算法，包含并查集的路径压缩与按秩合并优化，结合示例进行测试与结果分析；进一步对...
prim算法的正确性证明
qq_43325875的博客
03-29 388
最优子结构：不失一般性，令起始节点为V1，最小生成树G'中与V1相连的且权值最小的边为Va，边为e1，将V1和Va合并为一个新节点Vx，对于在图中与V1,Va同时相连的边，保留权值最小的与Vx相连，得到子图G1，现证明图G的最小生成树G'包含了图G1的最小生成树G1'。令G'为一颗最小生成树，如果包括e1，则该结论成立，若不包括e1，则将e1加入G'中，将形成一个环，在这个环中每个节点的度为2，删掉该环中最大的一条边e2，获得新的生成树G''。由于w(e1)<w(e2)，G''就为最小生成树。
Prim算法的正确性证明
qq_44624316的博客
04-04 989
令无向图为GVE，其中Vv1​v2​...vn​，其生成树为G′VE′，其中E′et1​​et2​​...etn−1​​，且G′为联通无环图。
Prim正确性的证明
七代目鸽影
01-28 3202
甚至没有讲怎么打 prim ，单纯地告诉你它是正确的。毫无技术含量。
Prim算法和Kruskal算法的正确性证明
weixin_30322405的博客
08-08 1311
今天学习了Prim算法和Kruskal算法，因为书中只给出了算法的实现，而没有给出关于算法正确性的证明，所以尝试着给出了自己的证明。刚才看了一下《算法》一书中的相关章节，使用了切分定理来证明这两个算法的正确性，更加简洁、优雅并且根本。相比之下，我的证明带着许多草莽气息，于此写成博客，只当是记录自己的思考 -------------------------------------------...
Prim算法证明
codebloom的博客
11-18 731
Prim算法证明 1.很简单的一个思想,先假设有两个连通图，这两个图的内部都是最小生成树，这两个图之间可能有多个路径可以连通,选择一个最短的路径相连即可，这样就是成了一个最小生成树。 2.其实每个结点就是一个连通图，所以就可以用上面的方法继续来分析啦。 ...
prim算法证明
qq_26784077的博客
01-09 989
算法过程 本文只将证明；过程参见：https://blog.youkuaiyun.com/luoshixian099/article/details/51908175 算法证明 有用推论 九层之台，起于累土；为了证明prim算法，可以先将一些理论证明，然后再以此为基础证明prim。 论据1 最小生成树可能不只一种 论据2 树做为无环图，若树中任意两点u v没有直接连接边，u v连接成边后树则变成了有环图。...
prim算法的简单证明
我只想做一个努力的人
02-12 6105
反证法：         假设权值最小的边不在最小生成树中。         此时将权值最小的边加入生成树中，那么必然会构成一个回路，去掉回路中权值最大的边，构成一个新的树，这时与假设构成矛盾。所以权值最小的边一定在最小生成树中。
贪心法--最小生成树
weixin_44117376的博客
06-24 535
一.Kruskal算法 思路： 每次在图中选择一条最短的且不构成环的边，重复V-1次得到最小生成树 注：不在一个集合表示不连通，保证了不会形成环 伪代码实现: 时间复杂度分析 边排序：O（ElogE） 建立集合：O（V） 查找集合与合并集合O：O（（V+E）logV） 时间复杂度：O（ElogE） 正确性证明 ： 优化子结构：设uv是G中权值最小的边，则必有一棵最 小生成树包含边uv.（反证法） 贪心选择性：按照点的个数进行归纳证明 二.Prim算法 1.思路：设置空图G’,先将任意顶
PRIM算法的正确性证明以及为什么能够保证生成最小生成树
08-16
### PRIM算法正确性证明 PRIM算法是一种贪心算法，用于求解图的最小生成树问题。其核心思想是从一个顶点出发，逐步扩展生成树，每次选择当前生成树与图中其他顶点之间权值最小的边，直到生成树包含所有顶点为止。PRIM算法之所以能够生成最小生成树，其正确性可以通过以下几个方面进行证明。 #### 1. 贪心选择性质 PRIM算法的正确性依赖于贪心选择性质。具体来说，假设在某个阶段，生成树已经包含了部分顶点。此时，PRIM算法会选择一条连接生成树与未包含顶点之间的权值最小的边。这一选择不会导致生成树的总权值增大，因此是局部最优的选择。 为了证明这一性质，假设存在一棵最小生成树 $ T $，其中不包含当前选择的边 $ e = (u, v) $。由于 $ T $ 是一棵生成树，因此 $ T $ 中必然存在一条从 $ u $ 到 $ v $ 的路径。这条路径上必然存在一条边 $ f = (x, y) $，其中 $ x $ 在当前生成树中，而 $ y $ 不在。假设 $ w(f) $ 和 $ w(e) $ 分别表示边 $ f $ 和 $ e $ 的权值。如果 $ w(e) < w(f) $，则可以通过将 $ f $ 从 $ T $ 中删除，并加入 $ e $，从而得到一棵权值更小的生成树，这与 $ T $ 是最小生成树的假设矛盾。因此，PRIM算法的贪心选择是正确的 [^2]。 #### 2. 最优子结构性质 PRIM算法还具有最优子结构性质，即最小生成树的子树也是最小生成树。具体来说，假设 $ T $ 是图 $ G $ 的一棵最小生成树，$ T' $ 是 $ T $ 的一个子树，包含顶点集 $ U $ 和边集 $ E_U $。那么，$ T' $ 必然是 $ U $ 的导出子图 $ G' $ 的最小生成树。 证明如下：假设 $ T' $ 不是 $ G' $ 的最小生成树，则存在一棵更优的生成树 $ T^* $。通过用 $ T^* $ 替换 $ T $ 中的 $ E_U $，可以得到一棵权值更小的生成树，这与 $ T $ 是最小生成树的假设矛盾。因此，$ T' $ 必然是 $ G' $ 的最小生成树 [^4]。 #### 3. 归纳法证明 PRIM算法的正确性还可以通过数学归纳法进行证明。假设在 PRIM 算法的前 $ k $ 步中选择的边 $ e_1, e_2, \dots, e_k $ 构成了最小生成树的一部分。那么，在第 $ k+1 $ 步中，PRIM 算法选择的边 $ e_{k+1} $ 也一定可以构造出最小生成树的一部分。 具体来说，假设存在一棵最小生成树 $ T $，其中不包含 $ e_{k+1} $。由于 $ T $ 是一棵生成树，因此 $ T $ 中必然存在一条路径连接 $ e_{k+1} $ 的两个顶点。通过将 $ e_{k+1} $ 加入 $ T $ 并删除路径中权值较大的一条边，可以构造出一棵权值更小的生成树，这与 $ T $ 是最小生成树的假设矛盾。因此，PRIM算法的每一步选择都可以构造出最小生成树的一部分 [^3]。 #### 4. 算法实现示例 以下是一个简单的 Python 实现示例，展示了 PRIM 算法的基本框架： ```python import heapq def prim(graph, start): mst = [] visited = set([start]) edges = [(cost, start, to) for to, cost in graph[start].items()] heapq.heapify(edges) while edges: cost, frm, to = heapq.heappop(edges) if to not in visited: visited.add(to) mst.append((frm, to, cost)) for to_next, cost_next in graph[to].items(): if to_next not in visited: heapq.heappush(edges, (cost_next, to, to_next)) return mst # 示例图的邻接表表示 graph = { 'A': {'B': 2, 'C': 3}, 'B': {'A': 2, 'C': 1, 'D': 4}, 'C': {'A': 3, 'B': 1, 'D': 5}, 'D': {'B': 4, 'C': 5} } # 调用 PRIM 算法 mst = prim(graph, 'A') print("最小生成树:", mst) ``` ###
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