线性代数复习

最新推荐文章于 2025-04-28 15:45:43 发布

Walnutt

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分类专栏：复习文章标签：线性代数

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线性代数复习

行列式（行r列c）

行列式如下（二阶三阶四阶）
$\left|\begin{matrix} 1&2\\ 3&4 \end{matrix}\right| \qquad \left|\begin{matrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{matrix}\right| \qquad \left|\begin{matrix} 1&2&3&4\\ 5&6&7&8\\ 9&10&11&12\\ 13&14&15&16 \end{matrix}\right|$

逆序数

全排列

把n个不同的元素排成一列叫做这n个元素的全排列

对换

排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换

逆序

先规定一个标准次序，在n个元素的任意排列中，某一个元素的先后次序与标准次序不同时，构成一个逆序，所有逆序和叫做逆序数，逆序数为奇数的叫奇排列

例子：

求32514的逆序数
$3\rightarrow0\\ 2\rightarrow1\\ 5\rightarrow0\\ 1\rightarrow3\\ 4\rightarrow1\\ t=\sum_{i=1}^5t_i=0+1+0+3+1=5$

性质

性质①

行列式与它的转置行列式相等

$D=D^T$

性质②

某行或列加上或减去另一行或列的几倍，行列式结果不变

性质③

某行或列×k，等于k×这个行列式
$\left|\begin{matrix} 1&2&3&4\\ 2&3&4&5\\ 4&5&7&8\\ 8&9&10&12 \end{matrix}\right| =-1\qquad \left|\begin{matrix} 2&4&6&8\\ 2&3&4&5\\ 4&5&7&8\\ 8&9&10&12 \end{matrix}\right| =-1\times2=-2$

性质④

对换两行或列，行列式变号
$\left|\begin{matrix} 0&0&0&3\\ 0&0&3&2\\ 1&2&3&4\\ 0&5&2&4 \end{matrix}\right| \xlongequal[r_1\leftrightarrow r_2]{r_1\leftrightarrow r_4\quad r_2\leftrightarrow r_3} =\left|\begin{matrix} 1&2&3&4\\ 0&5&2&4\\ 0&0&3&2\\ 0&0&0&3\\ \end{matrix}\right|$

$=-1\times-1\times-1\times1\times5\times3\times3=-45$

性质⑤

如果行列式有两行或列完全相同或成比例，则结果为0

行列式的计算

二阶计算

主对角线乘积减去副对角线乘积
$\left|\begin{matrix} 1&2\\ 3&4 \end{matrix}\right|=1\times3-2\times2=-1$

$\left|\begin{matrix} 3&4\\ 5&6 \end{matrix}\right|=3\times6-4\times5=-2$

普通多阶行列式计算

$\left|\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{matrix}\right|=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}$

$\left|\begin{matrix} 1&2&3\\ 2&3&4\\ 4&5&7 \end{matrix}\right| \xlongequal[]{r_2-2r_1} \left|\begin{matrix} 1&2&3\\ 2-2\times1&3-2\times2&4-2\times3\\ 4&5&7 \end{matrix}\right| =\left|\begin{matrix} 1&2&3\\ 0&-1&-2\\ 4&5&7 \end{matrix}\right|\\ \xlongequal[]{r_3-4r_1} \left|\begin{matrix} 1&2&3\\ 0&-1&-2\\ 4-4\times1&5-4\times2&7-4\times3 \end{matrix}\right| =\left|\begin{matrix} 1&2&3\\ 0&-1&-2\\ 0&-3&-5 \end{matrix}\right|\\\xlongequal[]{r_3-3r_2} \left|\begin{matrix} 1&2&3\\ 0&-1&-2\\ 0&-3-3\times(-1)&-5-3\times(-2) \end{matrix}\right| =\left|\begin{matrix} 1&2&3\\ 0&-1&-2\\ 0&0&1 \end{matrix}\right|\\=1\times(-1)\times1=-1$

特殊多阶行列式计算

公式①

若多阶行列式左对角线下都为0，则结果为左对角线乘积
$\left|\begin{matrix} 1&2&3\\ 0&5&6\\ 0&0&9 \end{matrix}\right| =1\times5\times9=45$

$\left|\begin{matrix} 1&2&3&4\\ 0&6&7&8\\ 0&0&11&12\\ 0&0&0&16 \end{matrix}\right| =1\times6\times12\times16=1152$

公式②

$(r_n,c_n)\left|\begin{matrix} x&a&...&a\\ a&x&...&a\\ ...&...&...&...\\ a&a&...&x \end{matrix}\right| =(x-a)^{n+1}[x+(n+1)\cdot a]$

例子：
$\left|\begin{matrix} 2&3&3&3\\ 3&2&3&3\\ 3&3&2&3\\ 3&3&3&2 \end{matrix}\right| =(2-3)^{4-1}\times[2+(4-1)\times3]=-11$

公式③

范德蒙德行列式
$\left|\begin{matrix} 1&1&...&1\\ x_1&x_2&...&x_n\\ x_1^2&x_2^2&...&x_n^2\\ ...&...&...&...\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&...&x_n^{n-1} \end{matrix}\right| \left.\begin{matrix} =\prod_{n\geq i> j\geq 1}(x_i-x_j) \\=(x_n-x_{n-1})(x_n-x_{n-2})(x_n-x_{n-3})...(x_n-x_1)\cdot\\(x_{n-1}-x_{n-2})(x_{n-1}-x_{n-3})...(x_{n-1}-x_1)...\\\cdot(x_2-x_1) \end{matrix}\right.$

例子：
$\left|\begin{matrix} 1&1&1&1\\ 3&4&5&6\\ 3^2&4^2&5^2&6^2\\ 3^3&4^3&5^3&6^3 \end{matrix}\right| \left.\begin{matrix} =(6-5)\times(6-4)\times(6-3)\times(5-4)\\\times(5-3)\times(4-3)=12 \end{matrix}\right.$

公式④

1.两行或列相同或成比例时，行列式为0

2.某行或列为两项相加减时，行列式可拆分成两个行列式相加减

例子：
$\left|\begin{matrix} 1&2&3&4\\ 2&4&6&8\\ 3&4&5&6\\ 7&8&9&10 \end{matrix}\right|=0$

$\left|\begin{matrix} 1&2+a&3&4\\ 2&4+b&6&8\\ 3&4+c&5&6\\ 7&8+d&9&10 \end{matrix}\right| =\left|\begin{matrix} 1&2&3&4\\ 2&4&6&8\\ 3&4&5&6\\ 7&8&9&10 \end{matrix}\right| +\left|\begin{matrix} 1&a&3&4\\ 2&b&6&8\\ 3&c&5&6\\ 7&d&9&10 \end{matrix}\right|$

余子式M与代数余子式A

余子式（M）与代数余子式（A）

例子：
$\left|\begin{matrix} 1&2&3\\ 5&6&7\\ 9&10&11 \end{matrix}\right|$

$M_{23}=\left|\begin{matrix}1&2\\9&10\end{matrix}\right|=-8 \qquad M_{12}=\left|\begin{matrix}5&7\\9&11\end{matrix}\right|=-8$

$A_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=8 \qquad A_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=8$

按行或列展开法则

$D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}(第i行)$

$D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj}(第j列)$

例子：
$\left|\begin{matrix} 1&2&3\\ 5&6&7\\ 9&10&11 \end{matrix}\right| =a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}=1\times(-1)^{1+1}\times \left|\begin{matrix}6&7\\10&11\end{matrix}\right|\\ +2\times(-1)^{1+2}\times \left|\begin{matrix}5&7\\9&11\end{matrix}\right| +2\times(-1)^{1+3}\times \left|\begin{matrix}5&6\\9&10\end{matrix}\right|$

$\left|\begin{matrix} 1&2&3\\ 4&0&5\\ 6&0&7 \end{matrix}\right| =2\times(-1)^{1+2}\times\left|\begin{matrix}4&5\\6&7\end{matrix}\right| =-2\times(28-30)=4$

多个M或A相加减

找到A下角标对应行列中的位置，用A的系数替换，算出结果即可

例子：
$已知：\left|\begin{matrix} 1&2&3&4\\ 2&4&6&8\\ 3&6&5&6\\ 7&9&9&10 \end{matrix}\right|$

$则3A_{11}+4A_{12}+5A_{13}+6A_{14}= \left|\begin{matrix} 3&4&5&6\\ 2&4&6&8\\ 3&6&5&6\\ 7&9&9&10 \end{matrix}\right|$

若有M，则将M转化为A进行计算
$3M_{11}+4M_{21}+5M_{31}+6M_{41}$

$A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot M_{11}=M_{11}\qquad\rightarrow\qquad M_{11}=A_{11}$

$A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot M_{21}=-M_{21}\qquad\rightarrow\qquad M_{21}=-A_{21}$

$A_{31}=(-1)^{1+1}\cdot M_{31}=M_{31}\qquad\rightarrow\qquad M_{31}=A_{31}$

$A_{41}=(-1)^{2+1}\cdot M_{41}=-M_{41}\qquad\rightarrow\qquad M_{41}=-A_{41}$

$3M_{11}+4M_{21}+5M_{31}+6M_{41}=3A_{11}-4A_{21}+5A_{31}-6A_{41}$

给一方程组，判断其解的情况

方程组	D≠0	D=0
齐次	只有一组零解	有零解与非零解
非齐次	只有一组非零解	有多个解或无解

$齐次：\left\{\begin{matrix} x_1+2x_2+3x_3=0\\ 4x_1+5x_2+6x_3=0\\ 7x_1+8x_2+9x_3=0 \end{matrix}\right. \qquad 非齐次：\left\{\begin{matrix} x_1+2x_2+3x_3=1\\ 4x_1+5x_2+6x_3=2\\ 7x_1+8x_2+9x_3=3 \end{matrix}\right.$

D的计算：将X前系数组合成为行列式计算值
$\left\{\begin{matrix} x_1+2x_2+3x_3=0\\ 4x_1+6x_3=0\\ 7x_1+8x_2=0 \end{matrix}\right. \qquad D= \left|\begin{matrix} 1&2&3\\4&0&6\\7&8&0 \end{matrix}\right|$

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