概率论复习

概率论

事件的概率

基本公式

$$c_n^m=\frac{n!}{m!\cdot (n-m)!}$$

$$c_3^2=\frac{3!}{2!\times (3-2)!}=3$$

$$n!=n\times (n-1)\times (n-2)...\times 10!=1$$

无放回类题目

$$P=\frac{c_{条件一总}^{条件一取}\times c_{条件二总}^{条件二取}...c_{条件N总}^{条件N取}}{c_{总}^{取}}$$

例子：

5黑6白，无放回摸5次，问2黑3白概率
$$P=\frac{c_5^2\times c_6^3}{c_{11}^5}=\frac{100}{231}$$

有放回类题目

1.K种颜色球，进行标号$A_1,A_2...A_k$

2.抽一次的概率$P_1,P_2...P_k$

3.摸出每个球的个数$n_1,n_2...n_k$

4.$P=\frac{(n_1+n_2...n_k)!}{n_1!n_2!...n_k!}{P}_1^{n_1}{P}_2^{n_2}...P_k^{n_k}$

例子：

5红6白，有放回摸5次，问2红3白概率
$$\begin{gathered} 2种颜色球代号为红:A_1,白:A_2 \\ 抽一次出现概率为P_1=\frac{5}{11},P_2=\frac{6}{11} \\ 摸每个球的次数n_1=2,n_2=3 \\ P=\frac{(2+3)!}{2!3!}(\frac{5}{11}{)}^2(\frac{6}{11}{)}^3 \end{gathered}$$

画图类题目

高中线性规划问题

条件概率公式

$$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$$

例子：

某地区今年发生洪水概率是80%，今明两年至少有一年发生洪水概率是85%，加入今年没有洪水，那么明年洪水概率是多少？
$$\begin{gathered} 记：A=今年没有洪水，B=明年有洪水 \\ P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{85\%-80\%}{1-80\%}=\frac{1}{4} \end{gathered}$$

全概率公式

$$P_{发生某事}=P_{A出现概率}\cdot P_{A发生某事概率}+P_{B出现概率}\cdot P_{B发生某事概率}...$$

例子：

两位员工进行考核，抽中概率均为50%，A通过率100%，B通过率1%，求员工通过率。
$$P_{员工通过}=50\%\cdot 100\%+50\%\cdot 1\%=50.5\%$$

贝叶斯公式

$$P_{已知某事件发生，求A发生概率}=\frac{P_{A出现概率}\cdot P_{A发生概率}}{P_{发生某事件概率}}$$

例子：

两位员工进行考核，抽中概率均为50%，A通过率100%，B通过率1%，求抽中员工通过考核时，B被抽中并通过的概率。
$$P_{已知有员工通过，B通过概率}=\frac{50\%\cdot 1\%}{50.5\%}=\frac{1}{101}$$

一维随机变量

分布函数$F_x(x)$与密度函数$f_x(x)$

$$f_x(x)=F_x^{\prime }(x)F_x(x)={\int }_{-\infty }^x{f}_x(x)dx$$

由$F_x(x)$f_x(x)$求P

$$P_{(a<x<b)}=F_x(b)=F_x(a)={\int }_a^b{f}_x(x)dx$$

例子：
$$\begin{gathered} 设X的密度函数f_x(x)=\{\begin{array}{c}-\frac{1}{2}x+1,0\le x\le 2\\ 0,其他\end{array} \\ 求概率P_{(-1<x<2)} \end{gathered}$$

$$P_{(-1<x<2)}={\int }_{-1}^2{f}_x(x)dx=1$$

求$F_x(x)$f_x(x)$中未知数

$$\{\begin{array}{c}{F}_x(-\infty )=0\\ F_x(+\infty )=0\\ F_{上}(分段点)=F_{下}(分段点)\end{array}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_x(x)dx=1$$

例子1：
$$设X的分布函数F_x（x）=\{\begin{array}{c}0,x\le 0\\ a+b{e}^{\lambda x},x>0\end{array}(\lambda >0),求a和b$$

$$\begin{gathered} F_x(-\infty )== \\ {F}_x(+\infty )=1\to a+b{e}^{-\lambda \cdot +\infty }=1\to a=1 \\ {F}_{上}(0)=F_{下}(0)\to 0=a+b{e}^{-\lambda \cdot 0}\to a+b=0 \\ \therefore a=1,b=-1 \end{gathered}$$

例子2：
$$设X的密度函数f_x(x)=\{\begin{array}{c}ax+1,0\le x\le 2\\ 0,其他\end{array}求常量a$$

$$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_x(x)dx=1\to {\int }_{-\infty }^0{f}_x(x)dx=1+{\int }_0^2{f}_x(x)dx=1+{\int }_2^{+\infty }{f}_x(x)dx=1 \\ \to {\int }_{-\infty }^0{f}_x(x)dx=1+{\int }_0^2(ax+1)dx=1+{\int }_2^{+\infty }{f}_x(x)dx=1 \\ \to 2a+2=1\to a=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

求分布律

1.列出所有可能取值

2.求出所有可能取值的概率

3.填表格

例子：

从编号为1、2、3、4、5、6的6个球中任取3个，用X表示其中最大数，求其分布律
$$\begin{gathered} X可能的取值为3、4、5、6 \\ {P}_{(x=3)}=\frac{C_2^2{C}_1^1{C}_3^0}{C_6^3}=\frac{1}{20} \\ {P}_{(x=4)}=\frac{C_3^2{C}_1^1{C}_2^0}{C_6^3}=\frac{3}{20} \\ {P}_{(x=5)}=\frac{C_4^2{C}_1^1{C}_1^0}{C_6^3}=\frac{3}{10} \\ {P}_{(x=6)}=\frac{C_5^2{C}_1^1}{C_6^3}=\frac{1}{2} \end{gathered}$$
分布列为：

X	3	4	5	6
P	$\frac{1}{20}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{2}$

一维随机变量的函数

由分布列求分布列

1.根据X的所有取值计算Y的所有取值

2.将分布列中X对应换为Y

3.整理表格

例子：

已知X的分布列

X	-2	0	2
P	0.4	0.3	0.3

求$Y=X^2+1$的分布列

Y	1	5
P	0.3	0.7

$$也可以写成Y\sim \left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 0.3& 0.7\end{array}\right)$$

由$F_X(x)$求$F_Y(y)$

1.写出X=?Y

2.用结果替换$F_X(x)$中的x

3.判断替换式子中是否有负号，若有则$F_Y(y)=1-F_X(?y)$

例子1：
$$设X的分布函数为F_X(x)=\{\begin{array}{c}0,x\le 0\\ x^2,0<x<1\\ 1,x\ge 1\end{array},求Y=2X的分布函数$$

$$\begin{gathered} Y=2X\to X=\frac{Y}{2} \\ {F}_X(\frac{y}{2})=\{\begin{array}{c}0,\frac{y}{2}\le 0\\ (\frac{y}{2}{)}^2,0<\frac{y}{2}<1\\ 1,\frac{y}{2}\ge 1\end{array} \\ 整理可得：F_Y(y)=F_X(\frac{Y}{2})=\{\begin{array}{c}0,y\le 0\\ \frac{y^2}{4},0<y<2\\ 1,y\ge 2\end{array} \end{gathered}$$

例子2：
$$设X的分布函数为F_X(x)=\{\begin{array}{c}0,x\le 0\\ x^2,0<x<1\\ 1,x\ge 1\end{array},求Y=-X的分布函数$$

$$\begin{gathered} Y=-X\to X=-Y \\ {F}_X(-y)=\{\begin{array}{c}0,-y\le 0\\ (-y{)}^2,0<-y<1\\ 1,-y\ge 1\end{array} \\ \because X=-Y \\ \therefore F_Y(y)=1-F_X(-y)=\{\begin{array}{c}1,y\ge 0\\ 1-y^2,-1<y<0\\ 0,y\le -1\end{array} \end{gathered}$$

由$f_X(x)$求$f_Y(y)$

1.写出X=?Y

2.用结果替换$F_X(x)$中的x,结果为$f_x(?y)$

3.$f_y=(?y{)}^{\prime }\cdot f_x(?y)$

4.判断替换式子中是否有负号，若有则$f_Y(y)=1-f_X(?y)$

例子：

设X的密度函数为$其他f_x(x)=\{\begin{array}{c}1,0<x<1\\ 0,其他\end{array}$,求Y=2X的密度函数
$$\begin{gathered} Y=2X\to X=\frac{Y}{2} \\ {f}_x(\frac{y}{2})=\{\begin{array}{c}1,0<y<2\\ 0,其他\end{array} \\ {f}_Y=(\frac{y}{2}{)}^{\prime }\cdot f_x(\frac{y}{2})=\frac{1}{2}\cdot f_x(\frac{y}{2})=\{\begin{array}{c}\frac{1}{2},0<y<2\\ 0,其他\end{array} \end{gathered}$$

五种分布

均匀分布

$a\sim U[a,b]$

例子：
$$\begin{gathered} 设X在[2,5]上服从均匀分布，求X的取值大于3的概率 \\ {P}_{X的取值大于3}=\frac{2}{3} \end{gathered}$$

泊松分布

$P(X=x)=\frac{{\lambda }^x}{x!}{e}^{-\lambda }$

例子：

某电话交换台每分钟接到的呼叫数服从参数为5的泊松分布，求一分钟内呼叫次数为2的概率

$P(X=2)=\frac{5^2}{2!}{e}^{-5}$=0.0842

二项分布

$a\sim B[n,p]$

$P(X=x)=C_n^x{p}^x(1-p{)}^{n-x}$

例子1：

重复投五次硬币，求正面朝上次数为3次的概率
$$\begin{gathered} x=3n=5P_{(}正面朝上)=\frac{1}{2} \\ {P}_{x=3}=C_5^3(\frac{1}{2}{)}^3(1-\frac{1}{2}{)}^{5-3}=\frac{5}{16} \end{gathered}$$
例子2：

在2红1绿三个球中又放回的摸3次，求摸到红球次数为2次的概率
$$\begin{gathered} x=2n=3P_{(}摸到红球)=\frac{2}{3} \\ {P}_{x=2}=C_3^2(\frac{2}{3}{)}^2(1-\frac{2}{3}{)}^{3-2}=\frac{4}{9} \end{gathered}$$

指数分布

$a\sim E(\lambda )$
$$f(x)=\{\begin{array}{c}\lambda e^{-\lambda x},x>0\\ 0,x\le 0\end{array}\{\begin{array}{c}{P}_{(a_1<x<a_2)}={\int }_{a_1}^{a_2}f(x)dx\\ P_{(x<a)}={\int }_{-\infty }^{a}f(x)dx\\ P_{(x>a)}={\int }_a^{+\infty }f(x)dx\end{array}$$
例子：
$$\begin{gathered} 某种电子元件的使用寿命X（小时）服从\lambda =\frac{1}{2000}的指数分布 \\ 求：（1）一个元件能正常使用1000小时以上的概率 \\ (2)一个原件能正常使用1000小时到2000小时之间的概率 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} X的密度函数为f(x)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{2000}{e}^{-\frac{x}{2000}},x>0\\ 0,x\le 0\end{array} \\ (1)P_{(x>1000)}={\int }_{1000}^{+\infty }f(x)dx={\int }_{1000}^{+\infty }{e}^{-\frac{x}{2000}}dx=e^{-0.5} \\ (2)P_{(1000<x<2000)}={\int }_{1000}^{2000}f(x)dx={\int }_{1000}^{2000}\frac{1}{2000}{e}^{-\frac{x}{2000}}dx=e^{-1}+e^{-0.5} \end{gathered}$$

正态分布

$a\sim N[\mu ,{\sigma }^2]$

图像：

（1）图像关于$\mu$对称

（2）线下面积代表概率，总面积为1

（3）$\sigma $越小图像越陡
$$\{\begin{array}{c}{P}_{(a<x<b)}=\varphi (\frac{b-\mu }{\sigma })\cdot \varphi (\frac{a-\mu }{\sigma })\\ P_{(x<a)}=\varphi (\frac{a-\mu }{\sigma })\\ P_{(x>b)}=1\cdot \varphi (\frac{b-\mu }{\sigma })\end{array}$$
例子：
$$\begin{gathered} 设随机变量X服从正态分布N(1.5,4) \\ 求：(1)P(1.5<X<3.5);(2)P(X<3.5) \\ 其中：\varphi (0)=0.5,\varphi (0.75)=0.7734,\varphi (1)=0.8413,\varphi (2.25)=0.9878 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mu =1.5,\sigma =2 \\ (1)P_{(1.5<x<3.5)}=\varphi (\frac{3.5-1.5}{2})\cdot \varphi (\frac{1.5-1.5}{2})=0.3413 \\ (2)P_{(x<3.5)}=\varphi (\frac{3.5-1.5}{2})=0.8413 \end{gathered}$$

离散型二维变量

由分布律推算概率

例子：

已知二维随机变量X，Y的分布律如下表

X|Y	1	2	3
0	0.2	0.1	0.1
1	0.3	0.2	0.1

$(1)P(X=0)=0.2+0.1+0.1+0.4$
$(2)P(Y=2)=0.1+0.2=0.3$
$(3)P(X+Y=2)=0.3+0.1=0.4$
$(4)$

X	0	1
P	0.4	0.6

Y	1	2	3
P	0.5	0.3	0.2

Z=X+Y	1	2	3	4
P	0.2	0.4	0.3	0.1

由分布律判断独立性

对于任意$x_1,y_1$均满足$P(X=x_1,Y=y_1)=P(X=x_1)\cdot P(Y=y_1)$, 那么X，Y相互独立

例子：

已知二维随机变量X，Y的分布律如下：

X|Y	1	2	3
0	0.2	0.1	0.1
1	0.3	0.2	0.1

判断X、Y的独立性
$$P(X=0,Y=3)=0.1\ne 0.08=P(X=0)\cdot PY=3$$

由$F(x,y)$求$f(x,y)$

$f(x,y)=\frac{{\delta }^{2}F(x,y)}{\delta x\delta y}$

由$f(x,y)$求$F(x,y)$

1.找出$f(x,y)$不等于0时x的范围和y的范围

2.计算${\int }_{g_1(y)}^{x}du{\int }_{h_1(u)}^{y}f(u,v)dv$结果记为①
$$\begin{gathered} g_1(y)为x的左边界 \\ {h}_1(u)为将y的下边界中x替换为u后的式子 \\ f(u,v)为将f(x,y)种的x替换为u,y替换为v后的式子 \end{gathered}$$
3.将$x=g_2(y),y=h_2(x)$分别带入①中结果记为②③

（$g_2(y)$为x的右边界$h_2(x)$为y的上边界）

4.画出$f(x,y)$不等于0的区域，记为区域A，A的右侧记为B，上侧记为C，右上方记为D，则

$①区域②，区域③，区域，区域，其他F(x,y)=\{\begin{array}{c}①,A区域\\ ②，B区域\\ ③，C区域\\ 1，D区域\\ 0，其他\end{array}$

例子：
$$已知二维随机变量的联合密度函数f(x,y)=\{\begin{array}{c}\frac{21}{4}{x}^{2}y,x^2\le y\le 1\\ 0,其他\end{array}求F(x,y)$$

$$\begin{gathered} x的范围：-\sqrt{y}\le x\le \sqrt{y} \\ y的范围：x^2\le y\le 1 \\ {g}_1(y)=-\sqrt{y}{h}_1(u)=u^{2}f(u,v)=\frac{21}{4}{u}^{2}v \\ ①={\int }_{-\sqrt{y}}^{x}du{\int }_{u^2}^y\frac{21}{4}{u}^{2}vdv=\frac{7}{8}{x}^3{y}^2-\frac{3}{8}{x}^7+\frac{1}{2}{y}^{\frac{7}{2}} \\ {g}_2(y)=\sqrt{y},h_2(x)=1 \\ 将上面两个式子分别带入①中得到 \\ ②=y^{\frac{7}{2}} \\ ③=\frac{7}{8}{x}^3-\frac{3}{8}{x}^7+\frac{1}{2} \\ A区域:x^2\le y\le 1 \\ B区域:x>\sqrt{y},0\le y\le 1 \\ C区域:-1\le x\le 1,y>1 \\ D区域:x>1,y>1 \\ F(x,y)=\{\begin{array}{c}\frac{7}{8}{x}^3{y}^2-\frac{3}{8}{x}^7+\frac{1}{2}{y}^{\frac{7}{2}},x^2\le y\le 1\\ y^{\frac{7}{2}},x>\sqrt{y},0\le y\le 1\\ \frac{7}{8}{x}^3-\frac{3}{8}{x}^7+\frac{1}{2},-1\le x\le 1,y>1\\ 1,x>1,y>1\\ 0,其他\end{array} \end{gathered}$$

由$F(x,y)$求P

$P(X\le x_0,Y\le y_0)=F(x_0,y_0)$

例子：

已知二维随机变量的联合分布函数为

$其他F(x,y)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{2}{x}^{2}y+\frac{1}{2}x{y}^2,0<x<1,0<x<1\\ \frac{1}{2}y+\frac{1}{2}{y}^2,x\ge 1,0<y<1\\ \frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x,0<x<1,y\le 1\\ 1,x\ge 1,y\ge 1\\ 0,其他\end{array}$

求$P(X\le \frac{1}{2},Y>\frac{1}{2})$
$$\begin{gathered} \because P(X\le \frac{1}{2})=P(X\le \frac{1}{2},Y>\frac{1}{2})+P(X\le \frac{1}{2},Y\le \frac{1}{2}) \\ \therefore P(X\le \frac{1}{2},Y>\frac{1}{2})=P(X\le \frac{1}{2},Y\le +\infty )-P(X\le \frac{1}{2},Y\le \frac{1}{2}) \\ =F(\frac{1}{2},+\infty )-F(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\frac{1}{4} \end{gathered}$$

已知$f(x,y)$求P

1.找出$f(x,y)$不等于0时x的范围和y的范围

2.找出要求概率的范围。填到上一步的范围里（要保证至少一个未知数的上下限都是纯数字）

3.如果x的上下限都是纯数字则$P={\int }_a^{b}dx{\int }_c^{d}f(x,y)dy$

如果y的上下限都是纯数字则$P={\int }_c^{d}dy{\int }_a^{b}f(x,y)dx$

($a\le x\le b,c\le y\le d$)

例子：

已知二维随机变量的联合密度函数为

$，其他f(x,y)=\{\begin{array}{c}6xy,0\le x\le 1,x^2\le y\le 1\\ 0，其他\end{array}$求$P(X\ge Y)$
$$\begin{gathered} x的范围：0\le x\le 1 \\ y的范围：x^2\le y\le 1 \\ 代入X\ge Y \\ x的范围：0\le x\le 1 \\ y的范围：x^2\le y\le x \\ 则P(X\ge Y)={\int }_0^{1}dx{\int }_{x^2}^{x}6xydy=\frac{1}{4} \end{gathered}$$

求$F(x,y),f(x,y)$中含有的未知数

$$\{\begin{array}{c}F(+\infty ,+\infty )=1\\ F(-\infty ,-\infty )=1\\ F(x,-\infty )=0\\ F(-\infty ,y)=0\end{array}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dxdy=1$$

例子：

设二维随机变量的联合密度函数为

$其他f(x,y)=\{\begin{array}{c}kxy,0\le x\le 1,x^2\le y\le 1\\ 0,其他\end{array}$求k

${\int }_0^1{\int }_{x^2}1kxydxdy=1\to k=6$

求均匀分布的$f(x,y)$与P

$$\begin{gathered} f(x,y)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{A},当(x,y)\in D(A为区域D的面积)\\ 0,其他\end{array} \\ P[(x,y)\in D_1]=\frac{A_1}{A}(A_1为区域D_1与D重合部分的面积) \end{gathered}$$

例子：
$$\begin{gathered} 设二维随机变量（x，y）在区域D=[(x,y)|x\ge 0,y\ge 0,x+y\le 1]服从均匀分布 \\ 求密度函数f(x,y)、P(X+Y<\frac{1}{2}) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} A=\frac{1}{2}f(x,y)=\{\begin{array}{c}2,(x,y)\in D\\ 0,其他\end{array} \\ P(X+Y\le \frac{1}{2})=\frac{A_1}{A}=\frac{1}{4} \end{gathered}$$

连续性分布变量

求边缘分布函数

$ F_X(x)=F(x,+\infty)\quad F_Y(y)=F(+\infty,y)$

例子：
$$\begin{gathered} 设随机变量（X，Y）的分布函数为 \\ F(x,y)=\frac{1}{{\pi }^2}(\frac{\pi }{2}+arctanx)(\frac{\pi }{2}+arctan2y),求边缘分布函数F_X(x),F_Y(y) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} F_X(x)=F(x,+\infty )=\frac{1}{{\pi }^2}(\frac{\pi }{2}+arctanx)[\frac{\pi }{2}+arctan2(+\infty )]=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }arctanx \\ {F}_Y(y)=F(+\infty ,y)=\frac{1}{{\pi }^2}[\frac{\pi }{2}+arctan(+\infty )](\frac{2}{\pi }+arctan2y)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }arctan2y \end{gathered}$$

求边缘密度函数

1.将$f(x,y)$非零区域画在坐标系上

2.表示出上下左右边界$左右上下左x=g_1(y),右x=g_2(y),上y=h_1(x),下y=h_2(x)$

3.$f_X(x)={\int }_{h_2(x)}^{h_1(x)}f(x,y)dy,f_Y(y)={\int }_{g_1(y)}^{g_2(y)}f(x,y)dx$

例子：
$$\begin{gathered} 设二维随机变量的联合密度函数为f(x,y)=\{\begin{array}{c}6xy,0\le x\le 1,x^2\le y\le 1\\ 0,其他\end{array} \\ 求边缘密度函数f_X(x),f_Y(y) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 左x=0,右x=\sqrt{y},上y=1，下y=x^2 \\ {f}_X(x)={\int }_{x^2}^{1}6xydy=3x-3x^5,f_Y(y)={\int }_0^{\sqrt{y}}6xydx=3y^2 \\ \therefore f_X(x)=\{\begin{array}{c}3x-3x^5,0\le x\le 1\\ 0,其他\end{array}{f}_Y(y)=\{\begin{array}{c}3y^2,0\le y\le 1\\ 0，其他\end{array} \end{gathered}$$

判断连续性二维变量的独立性

$$\begin{gathered} F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)\to (x,y相互独立) \\ f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)\to (x,y相互独立) \end{gathered}$$

例子：
$$设二维随机变量的联合密度函数为f(x,y)=\{\begin{array}{c}6xy,0\le x\le 1,x^2\le y\le 1\\ 0,其他\end{array}判断f(x,y)独立性$$

$$\begin{gathered} f_X(x)=\{\begin{array}{c}3x-3x^5,0\le x\le 1\\ 0,其他\end{array}{f}_Y(y)=\{\begin{array}{c}3y^2,0\le y\le 1\\ 0，其他\end{array} \\ {f}_X(x)\cdot f_Y(y)=(3x-3x^5)\cdot 3y^2=9x{y}^2-9x^5{y}^3\ne f(x,y) \\ \therefore X,Y相互不独立 \end{gathered}$$

$Z=X+Y$,求$f_Z(z)$

$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,z-x)dx$

例子：
$$\begin{gathered} 设二维随机变量的联合密度函数为f(x,y)=\{\begin{array}{c}2-x-y,0<x<1,0<y<1\\ 0,其他\end{array} \\ 求Z=X+Y的密度函数f_Z(z) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} f(x,z-x)=\{\begin{array}{c}2-z,0<x<1,z-1<x<z\\ 0,其他\end{array} \\ 当z\le 0或z\ge 2时,f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }0dx=0 \\ 当0<z\le 1时,f_Z(z)={\int }_0^z(2-z)dx=z(2-z) \\ 当1<z\le 2时,f_Z(z)={\int }_{z-1}^1(2-z)dx=(2-z{)}^2 \\ \therefore f_Z(z)=\{\begin{array}{c}z(2-z),0<z\le 1\\ (2-z{)}^2,1<z\le 2\\ 0,其他\end{array} \end{gathered}$$

$Z=\frac{X}{Y}$,求$f_Z(z)$

$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(yz,y)\cdot |y|dy$

有F，XY相互独立，$Z=max(X,Y)$或$Z=min(X,Y)$,求$F_Z(z)$

$$\begin{gathered} Z=max(X,Y):F_Z(z)=F_X(z)\cdot F_Y(z) \\ Z=min(X,Y):F_Z(z)=1-[1-F_X(z)]\cdot [1-F_Y(z)] \end{gathered}$$

随即变量的数字特征

离散型的期望E(x)

$E(X)=\sum X_i{P}_i$

连续性的期望E(x)

$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx$

已知$Y=g(x)$,求$E(Y)$

$$\begin{gathered} 离散型：E(Y)=\sum g(X_i)P_i \\ 连续型：E(Y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x)\cdot f(x)dx \end{gathered}$$

求方差D(X)

$$\begin{gathered} D(X)=\sum [X_i-E(X{)}^2\cdot P_i]\to 离散型 \\ D(X)=E(X^2)-E^2(X)\to 连续型/离散型 \end{gathered}$$

$E(X),D(X)$的性质

$$\begin{gathered} E(C)=C \\ E(CX)=CE(X) \\ E(X\pm Y)=E(X)\pm E(Y) \\ E(XY)=E(X)E(Y)(X,Y相互独立时成立) \\ D(C)=0 \\ D(CX)=C^{2}D(X) \\ D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)(X,Y相互独立时成立) \\ D(X)=E(X^2)-E^2(X) \end{gathered}$$

各种分布的E，D

二项分布

$$\begin{gathered} B(n,p) \\ E(X)=np,D(X)=np(1-p) \\ P(X=d)=C_n^d{P}^d(1-p{)}^{n-d} \end{gathered}$$

泊松分布

$$\begin{gathered} P(\lambda ) \\ E(X)=D(X)=\lambda \\ P(X=d)=\frac{{\lambda }^d}{d!}{e}^{-\lambda } \end{gathered}$$

均匀分布

$$\begin{gathered} U[a,b] \\ E(X)=\frac{a+b}{2},D(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12} \\ P(c\le X\le d)=\frac{d-c}{b-a} \end{gathered}$$

指数分布

$$\begin{gathered} E(\lambda ) \\ E(X)=\frac{1}{\lambda },D(X)=\frac{1}{{\lambda }^2} \\ P(c\le X\le d)=\frac{1}{e^{c\lambda }}-\frac{1}{e^d\lambda } \end{gathered}$$

正态分布

$$\begin{gathered} N(\mu ,{\sigma }^2) \\ E(X)=\mu ,D(X)={\sigma }^2 \\ P(c\le X\le d)=\varphi (\frac{d-\mu }{\sigma })-\varphi (\frac{c-\mu }{\sigma }) \end{gathered}$$

协方差$Cov$相关系数${\rho }_{XY}$方差$D$的相关公式

$$\begin{gathered} Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)\cdot E(Y) \\ Cov(X,Y)=0(X,Y相互独立时) \\ Cov(X,X)=D(X) \\ Cov(X,Y)={\rho }_{XY}\cdot \sqrt{D(X)}\cdot \sqrt{D(Y)} \\ Cov(aX+b,cY+d)=acCov(X,Y) \\ Cov(X_1\pm X_2,Y_1\pm Y_2)=Cov(X_1,Y_1)\pm Cov(X_2,Y_2) \\ {\rho }_{XY}=\frac{Cov(XY)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}{\rho }_{XY}=0(X,Y相互独立时) \\ D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm 2Cov(X,Y) \end{gathered}$$

切比雪夫不等式

$P[|X-E(X)|\ge \epsilon ]\le \frac{D(X)}{{\epsilon }^2}$($\epsilon$为任意正数)

多项独立分布公式

$$\begin{gathered} 设共有n项，总和为Y，单项的期望为E(X)，方差为D(X) \\ 则\{\begin{array}{c}P(a\le Y\le b)=\varphi (\frac{b-nE(X)}{\sqrt{nD(X)}})-\varphi (\frac{a-nE(X)}{\sqrt{nD(X)}})\\ P(Y\ge a)=1-\varphi (\frac{a-nE(X)}{\sqrt{nD(X)}})\\ P(Y\le b)=\varphi (\frac{b-nE(X)}{\sqrt{nD(X)}})\end{array} \end{gathered}$$