3D数学基础——矩阵变换

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已于 2022-03-24 21:20:33 修改 · 2k 阅读

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#计算机视觉 #线性代数

于 2022-03-24 21:17:17 首次发布

本文详细介绍了3D空间中向量的矩阵变换，包括缩放、旋转和平移。通过矩阵运算，阐述了如何使用3×3和4×4矩阵实现向量的比例变换、围绕坐标轴的旋转以及在三维空间中的平移。还提到了齐次坐标的运用以及平移矩阵的简化形式。此外，文章提供了进一步阅读的扩展资源。

文章目录

3D数学基础——矩阵变换

3D数学基础——矩阵变换

0. 前提假设与符号定义

向量与矩阵

假设向量 $k$ 右向量 $h$ 变换得到：

设向量 $h=[x,y,z]^{T}$
设向量 $k=[u,v,w]^{T}$
3维矩阵 $M_{3×3}=\begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{bmatrix}$
4维矩阵 $M_{4×4}=\begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} & m_{14}\\ m_{21} & m_{22} & m_{23} & m_{24} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} & m_{34} \\ m_{41} & m_{42} & m_{43} & m_{44} \end{bmatrix}$
单位矩阵 $E$

缩放

缩放矩阵 $M_{scalar}$
缩放因子 $s$

旋转

旋转矩阵 $M_{rotate}$
旋转角 $\theta$

平移

平移矩阵 $M_{trans}$
平移向量 $t$

1. 缩放

令：

$k=M_{3×3}h=\begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} m_{11}x+ m_{12}y + m_{13} \\m_{21}x + m_{22}y + m_{23}z \\ m_{31}x + m_{32}y + m_{33}z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u \\ v \\ w \end{bmatrix} \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$