Codeforces Round #645 (Div. 2) D. The Best Vacation（二分前缀和）

传送门

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1.题目大意：某星球一年有$n$个月，每月有$d_i$天，每个月第$i$天的权值为$i$，现在选出$x$天（可以是不连续的年份），使得权值和尽可能地大

2.如果考虑使用前缀和存每一天，数据太大存不下。因为选取固定的x天，这里比较难想到，就是证明选择的最优区间一定含有某个月的月末：

• 假设选取的区间在某月内，显然右端点在该月末时答案最优
• 假设选取的区间左端点在第$i$月中间，右端点在第$j(j>i)$月中间，那么区间右移可以使答案不断变大直到右端点到达了$j$月末

那么我们考虑枚举右端点$i$，然后通过二分前缀和找到满足$d[j]+x<=d[i]$最大的$j$，这里直接$lower\_bound$也行（千万注意边界，和下面代码处理不同），下面代码手写了二分。然后就是判断是否刚好包含该月，还是从下一个月取出若干天，注意一下细节即可

还有一点，因为年份可以跨越，因此化环为线，操作$2\ast n$的长度即可

#include <set>
#include <map>
#include <stack>
#include <queue>
#include <math.h>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <bitset>
#include <cstring>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define ins insert
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define mkp(x,y) make_pair(x,y)
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof a);
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> P;
const double eps=1e-8;
const double pi=acos(-1.0);
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll INF=1e18;
const int Mod=1e9+7;
const int maxn=1e6+10;

ll n,x;
int a[maxn];
ll d[maxn],s[maxn],sum[maxn];

void init(){  //处理每个月的权值前缀和
    for(int i=1;i<maxn;i++)
        s[i]=s[i-1]+i;
}

int main(){
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>x;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        a[n+i]=a[i];
    }
    init();
    for(int i=1;i<=2*n;i++){
        d[i]=d[i-1]+a[i];
        sum[i]=sum[i-1]+s[a[i]];
    }
    ll ans=-1;
    for(int i=1;i<=2*n;i++)
        if(d[i]>=x){
            int l=0,r=i,pos;
            while(l<=r){  //对闭区间[l,r]二分
                int mid=(l+r)>>1;
                if(d[i]-d[mid]>=x){
                    l=mid+1;
                    pos=mid;
                }else r=mid-1;
            }
            l=pos;
            if(d[i]-d[l]==x){
                ans=max(ans,sum[i]-sum[l]);
            }else{
                ll p=d[i]-d[l+1]; 
                ll q=x-p;
                ll res=s[a[l+1]]-s[a[l+1]-q];  //右边实际是a[l+1]-q+1-1
                ans=max(ans,sum[i]-sum[l+1]+res);
            }
        }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}