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传送门题目大意给出nnn个数，每次可以将每个数分成k,k>2k,k>2k,k>2个大小相等的数lk\frac{l}{k}kl​，111不可再分，问什么时候先手会胜。解题思路根据SG定理，只需要考虑每个数的SG值最后再将所有的结果异或。对于每个数，显然如果是111必败，而如果是质数那么必胜，否则对于一个数nnn，从222到nnn尝试将nnn分为这么多个，显然是nnn的每对因数乘积的结果，根据SG函数的性质，设n=p∗qn=p*qn=p∗q，若ppp为偶数，那么可以得出其能到达的子局

博弈论基础定理必胜状态为先手必胜的状态，必败状态为先手必败的状态。定理一：没有后继状态的状态就是必败状态定理二：一个状态是必胜状态当且仅当存在至少一个必败状态为它的后继状态。定理三：一个状态是必败状态当且仅当它的所有后继状态均为必胜状态。巴什博弈问题引入两个顶尖聪明的人在玩游戏，有nnn个石子，每人可以随便拿1−m1−m1−m个石子，不能拿的人为败者，问谁会胜利。问题分析当石子个数n=0n=0n=0时是必败态。当石子个数n∈[1,m]n\in[1,m]n∈[1,m]时，都可

传送门题目大意给出一个数nnn，设其唯一分解式为n=p1e1p2e2..pnenn=p_1^{e_1}p_2^{e2}..p_n^{e_n}n=p1e1​​p2e2​..pnen​​，给出σ(n)\sigma(n)σ(n)定义：σ(n)=p1e1−1−1p1−1∗p2e2+1−1p2−1∗...∗pnen+1−1pn−1\sigma(n)=\frac{p_1^{e_1-1}-1}{p_1-1}*\frac{p_2^{e_2+1}-1}{p_2-1}*...*\frac{p_n^{e_n+1}-1}{

二元二次不定方程形如x2+y2=nx^2+y^2=nx2+y2=n的丢番图方程，又可以称为二元二次不定方程整数解求x2+y2=nx^2+y^2=nx2+y2=n的整数解的个数。定理结论素数分为三种：222，模444余111的素数，模444余333的素数（又称高斯素数）费马平方和定理：奇素数能被表示为两个平方数之和的充要条件为该素数为模444余111型素数费马平方和扩展定理：正整数nnn能被表示为平方数之和的充要条件为模444余333的素数的指数个数为偶数解法一设f(x)f(x)f(x)为二

传送门题目大意求nk(n<231,k≤1e7)n^k(n < 2^{31},k \leq 1e7)nk(n<231,k≤1e7)的前333位和后333位解题思路对于后三位来说，只需要快速幂然后对100010001000取模，但是这个前三位怎么求我怎么也想不出来，后来看了题解才恍然大悟：nkn^knk用科学计数法表示为nk=a∗10bn^k = a*10^bnk=a∗10b，其中aaa是小数，将两边取对数，这样可以得到 klog10n=b+log10a~klog_{10