3维前缀和，3维差分

最新推荐文章于 2025-02-26 20:53:16 发布

reasonbao

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本文介绍了一种高效的三维前缀和计算方法，通过奇偶性判断加减符号简化了计算过程。同时，提供了三维差分的8个关键公式，帮助理解高维数据结构的更新与查询操作。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

高维前缀和

惊喜地发现另外一种求前缀和的方式，转来粘这，感谢这位大佬的学习笔记，
[学习笔记]高维前缀和
PS:（现在更倾向于楼上的惊喜方法）

附.三维前缀和 O(N³*2³)的写法

S(X, Y, Z) = a(X, Y, Z)
+S(X, Y, Z - 1) + S(X, Y - 1, Z) + S(X - 1, Y, Z)
-S(X, Y - 1, Z - 1) - S(X - 1, Y, Z - 1) - S(X - 1, Y - 1, Z)
+S(X - 1, Y - 1, Z - 1)

便于记忆的方法：二进制001——111，奇数个（-1）则为正号。（总共2^t个加数咯，算上本身嘛）
@奇数则为加

S(X, Y, Z) = a(X, Y, Z) +	表示
001 符号：+	S(X, Y, Z - 1)
010 符号：+	S(X, Y - 1, Z)
011 符号：-	S(X, Y - 1, Z - 1)
100 符号：+	S(X - 1, Y, Z)
101 符号：-	S(X - 1, Y - 1, Z)
110 符号：-	S(X - 1, Y - 1, Z)
111 符号：+	S(X - 1, Y - 1, Z - 1)

三维差分8个式子

@与第一行相同的情况（奇数、偶数个1），则符号与第一行相同，此时即奇数则为负

二进制	表示
000	——————————————B(X1, Y1, Z1) += C ——使该立方体全部加上常数C
001	B(X1, Y1, Z2 + 1) -=C
010	B(X1, Y2 + 1, Z1) -= C
011	B(X1, Y2 +1, Z2 + 1) += C
100	B(X2 +1, Y1, Z1) -= C
101	B(X2 + 1, Y1, Z2 + 1) += C
110	B(X2 + 1, Y2 + 1, Z1) += C
111	B(X2 + 1, Y2 + 1, Z2 + 1) -= C