线性dp典中典题目 编辑距离（洛谷 P2758）

编辑距离

题目描述
设A和B是两个字符串。我们要用最少的字符操作次数，将字符串A转换为字符串B。这里所说的字符操作共有三种：

1、删除一个字符；

2、插入一个字符；

3、将一个字符改为另一个字符；

！皆为小写字母！

输入格式
第一行为字符串A；第二行为字符串B；字符串A和B的长度均小于2000。

输出格式
只有一个正整数，为最少字符操作次数。

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线性dp

设状态dp[i][j]的含义为字符串a的前 i 部分，和字符串b的前 j 部分相匹配所要的最少操作次数；

那么dp[i][j]可由三个状态转化而来：

1.删除，那么串a的前 i-1 部分必须和串b的前 j 部分匹配，那么只要删除第 i 个字符就行；
dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][j]+1);

2.插入，和删除一个道理，串a的前 i 部分必须和串b的前 j-1 部分匹配，只要在第i个字符后面插入一个字符就行；

dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][j-1]+1);

3.改字符，那么就分两种情况了，一种是a[i]和b[j]相等，直接等于上一个状态；一种是不相等，那么就要改了；

dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][j-1]+1);

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define pa pair<int,int>
#define lson k<<1
#define rson k<<1|1
#define inf 0x3f3f3f3f 
//ios::sync_with_stdio(false);
using namespace std;
const int N=2100;
const int M=200100;
const LL mod=1e9+7;
int dp[N][N];
char a[N],b[N];
int main(){
//	ios::sync_with_stdio(false);
	scanf("%s",a+1);
	scanf("%s",b+1); 
	int n=strlen(a+1);
	int m=strlen(b+1);
	for(int i=0;i<=m;i++) dp[0][i]=i;//添加
	for(int i=0;i<=n;i++) dp[i][0]=i;//删除
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			dp[i][j]=min(dp[i-1][j]+1,dp[i][j-1]+1);
			if(a[i]==b[j]) dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][j-1]);
			else dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][j-1]+1);	
		}
	} 
	cout<<dp[n][m]<<endl;
	return 0;
}