编辑距离（洛谷 P2758 ）

洛谷 P2758 编辑距离

题目描述

设A和B是两个字符串。我们要用最少的字符操作次数，将字符串A转换为字符串B。这里所说的字符操作共有三种：

1、删除一个字符；

2、插入一个字符；

3、将一个字符改为另一个字符；

！皆为小写字母！

输入输出格式

输入格式：

第一行为字符串A；第二行为字符串B；字符串A和B的长度均小于2000。

输出格式：

只有一个正整数，为最少字符操作次数。

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明显的动归题嘛因为明显不好暴力和搜索

设f[i][j]表示把a[1~i]变成b[1~j]最少的操作数
假设之前的都已经算好了
考虑一下怎么进行转移 根据接下来的操作分类

• 改字符
  即将a[i]变成b[j]，需要一步操作
  要使做完这一步让a[1~i]变成b[1~j]，需要将a[1~i-1]变成b[1~j-1]
  即step=f[i-1][j-1]+1
• 删字符
  即将a[i]删除，需要一步操作
  要使做完这一步让a[1~i]变成b[1~j]，需要将a[1~i-1]变成b[1~j]
  即step=f[i-1][j]+1
• 添字符
  即将在a末尾插入b[j]，需要一步操作
  要使做完这一步让a[1~i]变成b[1~j]，需要将a[1~i]变成b[1~j-1]
  即step=f[i][j-1]+1
• 休息
  如果a[i]=b[j]，只要让a[1~i-1]变成b[1~j-1]就行了
  即step=f[i-1][j-1]

一顿Ctrl C + V之后
状态转移方程横空出世！！！

if(a[i-1]==b[j-1])
    f[i][j]=f[i-1][j-1];
else 
    [i][j]=min(min(f[i-1][j],f[i][j-1]),f[i-1][j-1])+1;

这就出现了一个问题：
f[i-1][j-1]一定比f[i-1][j-1]+1和f[i-1][j]+1小吗
答案是肯定的
因为需要编辑的字符串越长，操作次数只增不减
因此 f[i-1][j-1]至少是小于等于f[i-1][j-1]+1和f[i-1][j]+1的

好的上代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define N 2005
int f[N][N];
int main(){
    string a,b;
    cin>>a>>b;
    int la=a.size(),lb=b.size();
    for(int i=1;i<=la;++i)
    {
        f[i][0]=i;//全部删掉要i步操作
        for(int j=1;j<=lb;++j)
        {
            f[0][j]=j;//全部补上要j步操作
            if(a[i-1]==b[j-1])
                f[i][j]=f[i-1][j-1];
            else 
                f[i][j]=min(min(f[i-1][j],f[i][j-1]),f[i-1][j-1])+1;
            //cout<<f[i][j]<<" ";
        }
        //cout<<endl;
    }
    cout<<f[la][lb]<<endl;
    return 0;
}