LL文法First集和Follow集通俗讲解

编译原理FIRST集和FOLLOW集

一、FIRST集

定义：

设 $G=(V_T,V_N,S,P)$是上下文无关文法，则
$FIRST(\alpha )=a|\alpha \Rightarrow a...,a\in V_T$

理解定义：
FIRST(A)是以A为开始符的集合，即左边为A的产生式的集合，A的所有可能推导的开头终结符或者是$ϵ$

例子：
1.右边不是以非终结符开头

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A->aB|$ϵ$
A->c

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左边为A的产生式有两个，且右边都以终结符开头或$A\Rightarrow ϵ$，First(A)即为开头的终结符或$ϵ$
First(A)={a,c,$ϵ$}

2.右边以非终结符开头(1)

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A->Ba
B->b

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A继续往后推导得到A->ba,此时满足条件1，所以
First(A)={b}

3.右边以非终结符开头(2)

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A->Bc
B->b|$ϵ$

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A继续推导可得到A->bc、A->$ϵ$c，第一个式子满足条件1，第二个式子以$ϵ$开头，可忽略$ϵ$得到A->c，所以
First(A)={b,c}

4.右边以非终结符开头(3)

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A->BC
B->b|$ϵ$
C->c|$ϵ$

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此时A可推导出A->bC,A->$ϵ$C,第二个式子忽略$ϵ$继续推导可得到A->c,A->$ϵ$,A直接推导出$ϵ$需加入First，所以
First(A)={b,c,$ϵ$}

Follow集

定义：
假定S是文法G的开始符号，对于G的任何非终结符A，我们定义
$FOLLOW(A)=a|S\Rightarrow ...Aa...,a\in V_T$

理解定义
Follow(A)为非终结符A后跟符号的集合，Follow(A)是所有句型中出现在紧接A之后的终结符或’#’
求解规则
(1)对于文法的开始符号S,置#于Follow(s)中；
(2)若A->$\alpha$B$\beta$是一个产生式，则把First($\beta$)-{$ϵ$}加入到Follow(B)中
(3)A->$\alpha$B是一个产生式，或A->$\alpha$B$\beta$是一个产生式且$\beta \Rightarrow ϵ$,则把Follow(A)加入到Follow(B)中

理解求解规则
(1)对于开始符号S,首先将#放入Follow(S)中
(2)形如A->$\alpha$B$\beta$
($\alpha$可以是终结符或者直接为空,$\beta$可以是终结符或者非终结符，注意$\beta$不能为空，B后面要有东西)，比如

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A->aBc
A->aBd
A->BC
A->Bd

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将First($\beta$)-{$ϵ$}（即去掉$ϵ$）加入到Follow(B)中
(3) 形如A->$\alpha$B($\alpha$可以是终结符或非终结符或者直接为空)或者A->$\alpha$B$\beta$是一个产生式且$\beta \Rightarrow ϵ$
比如

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A->B
A->cB

A->dBC
C->$ϵ$

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将Follow(A)加入到Follow(B)中

综合例子

一般我们先求出所有First集合，因为Follow集的第二条规则求解会用到First集，Follow集的求解套用三条求解规则即可

例一

注意：[if]是一个终结符，同理[b],[other],[else],[then]

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G(S):S->IETSP | O
I->if
E->b
O->other
L->else
T->then
P->LS|$ϵ$

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First	Follow
First(S)={if,other}	Follow(S)={#,else}
First(I)={if}	Follow(I)={b}
First(E)={b}	Follow(E)={then}
First(O)={other}	Follow(O)={else,#}
First(L)={else}	Follow(L)={if,other}
First( P)={else,$ϵ$}	Follow§={else,#}
First(T)={then}	Follow(T)={else,#}

挑两个来进行分析

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First( P):
P往后推导可得到P->elseS,P->$ϵ$,所以First( P)={else,$ϵ$}

Follow(O):
O出现在产生式S->O的右边，此时对应第三条规则，Follow(S)加入到Follow(O)中
所以Follow(O)={else,#}

Follow(S):
这里可能有些迷惑,因为P->LS中也包含S,这里如果用第三条规则就会有些麻烦，其实我们可以试着将P->LS代入S->IETSP中的到S->IETSLS，满足S->…S，将#加入Follow(S)集

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此时应该已经明白First和Follow的求解方法，可以去找题目进行练习，查漏补缺，有写的不好的地方，还请指出 😄，视频地址。