数论1——快速幂（1.0）

最新推荐文章于 2024-08-17 21:49:10 发布

桃社长

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分类专栏：算法 # 数论(学习) 文章标签：快速幂算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_43824791/article/details/89367438

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本文深入讲解快速幂算法，包括其原理、代码实现及时间复杂度分析。快速幂算法基于二进制转换，能将时间复杂度由O(N)降至O(logN)，适用于高效计算大数幂运算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

快速幂的——>

一、快速幂函的简单介绍：

快速幂的本质是基于二进制和十进制的转换。
对于aⁿ 指数n都可以表示为2的指数和的形式。

比如n == 6时， 6的二进制为（110） 6 可以表示为 1*2²+1 * 2¹+0 * 2⁰ （不会的可以百度二进制与十进制的转换）。

当n == 6时，
a⁶ == a^{1*2²+1 * 2¹+0 * 2⁰} == a^{1 * 2²} * a ^{1 * 2¹} * a^{0 * 2⁰}

其实这是一个函数a^{2^b*(0或1)}的形式（b == 0, 1, 2, 3…），这个我们可以模拟。

并且有一规律： a^{2^b} == a^{2^b-1}* a^{2^b-1}。

对于二进制的对应位是1时，我们就乘上这一项，
否则，就不乘。因为 a^{2^b*0} == a⁰ == 1（1是幺元，所以不乘没影响）。

二、代码实现：

int qpow(int a, int n)//a的 n次幂
{
    int ans = 1;
    while(n!= 0)
    {
        if(n % 2 != 0)//对于 c++ 可以改成 n&1 （会更快）
        {
            ans*=a;
        }
        a = a*a;// 模拟函数 a^2^b 
        n/=2;// c++ 可以改成 b>>= 1（会更快）
    }
    
    return ans;
    
}

cpp代码：


int qpow(int a, int b)//a的 b次幂
{
    int ans = 1;
    int base = a;
    while(b!= 0)
    {
        if(b & 1!= 0)//
        {
            ans*=base;
        }
        base*=base;// 每次利用之前计算的。
        b>>= 1;
    }
    
    return ans;
    
}

快速幂，取模版：

 ll mod_pow(ll a, ll b, ll mod)
 {	
 	 ll ans =1;
 	ll base = a;
	while(b!=0)
	{
		if(b%2!=0)
			ans = (ans*base)%mod;
		base*=base;
		b/=2;
	}
 	return ans;
 }

矩阵快速幂 https://blog.youkuaiyun.com/u014634338/article/details/42467275

优势：对于求a的b次方，如果按照一般方法循环b次相乘时间复杂度是O（b）即 O(N)级别

二快速幂的方法,会利用之前算的结果处，使杂度会降到O（log2N）（第三版块会有证明）

三、快速幂时间复杂度证明：

大家都知道时间复杂度是主要是看循环，这个都明白，那接下来就证明快速幂的时间复杂度。

对于aⁿ:

朴素方法要循环 n 次每次乘以a 才能得到答案——所以时间复杂度是O(n)

 int ans = 1;
 for(int i = 1;i <= n;i++)
 {
        ans*=a;
 }

快速幂：

int qpow(int a, int n)//a的 b次幂
{
    int ans = 1;
    int base = a;
    while(n!= 0)
    {
        if(n % 2 != 0)  ans*=base;
        base*=base;
        n/=2;
    }
    return ans;
}