常用的积分公式
- ∫1xdx=ln∣x∣+C\int \frac 1x dx = \ln|x| + C∫x1dx=ln∣x∣+C
- ∫exdx=ex+C\int e^x dx = e^x + C∫exdx=ex+C
- ∫xμdx=1μ+1xμ+1+C  (μ̸=−1)\int x^ \mu dx = \frac1{\mu + 1} x^{ \mu + 1} + C \; (\mu \not= -1)∫xμdx=μ+11xμ+1+C(μ̸=−1)
\qquad(这个公式特点是:指数加1,作指数和分母) - ∫sinxdx=−cosx+C\int \sin x dx = -\cos x + C∫sinxdx=−cosx+C
- ∫cosxdx=sinx+C\int \cos x dx = \sin x + C∫cosxdx=sinx+C
\qquad(这两个公式特点是:正弦余弦互换) - ∫tanxdx=−ln∣cosx∣+C\int \tan xdx = - \ln | \cos x | + C∫tanxdx=−ln∣cosx∣+C
- ∫cotxdx=ln∣sinx∣+C\int \cot xdx = \ln | \sin x | + C∫cotxdx=ln∣sinx∣+C
\qquad(这两个公式的特点是:正变余,切变弦) - ∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C\int \sec xdx = \ln | \sec x + \tan x | + C∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C
- ∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+C\int \csc xdx = \ln | \csc x - \cot x | + C∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+C
\qquad(这两个公式的特点是:前后都有相同的函数名,且第二个函数名如正切与正割的关系是同正,割变切。) - ∫sec2xdx=tanx+C\int \sec^2 x dx = \tan x + C∫sec2xdx=tanx+C
- ∫secxtanxdx=secx+C\int \sec x \tan xdx = \sec x + C∫secxtanxdx=secx+C
- ∫csc2xdx=−cotx+C\int\csc^2xdx = - \cot x+ C∫csc2xdx=−cotx+C
- ∫cscxcotxdx=−cscx+C\int \csc x \cot xdx = - \csc x + C∫cscxcotxdx=−cscx+C
\qquad(这四个公式的特点是:分为两个一组时,两个的前面的形式很相似,但是又有所不同) - ∫11−x2=arcsinx+C=−arccosx+C\int \frac1{ \sqrt{ 1-x^ 2} } = \arcsin x + C = - \arccos x + C∫1−x21=arcsinx+C=−arccosx+C
- ∫1a2−x2dx=arcsinxa+C\int \frac 1{ \sqrt {a^2 - x^2 } } dx = \arcsin \frac xa + C∫a2−x21dx=arcsinax+C
- ∫11+x2=arctan  x+C=−arccot  x+C\int \frac1{1+x^2} = arctan \; x + C = - arccot \; x + C∫1+x21=arctanx+C=−arccotx+C
- ∫1a2+x2dx=1aarctanxa+C\int \frac 1{ a^2 + x^2} dx = {\frac 1a} \arctan { \frac xa } + C∫a2+x21dx=a1arctanax+C
\qquad(这四个公式的特点是:得到的结果都有反函数,且分为两个一组时,后者是前者的更一般情况) - ∫1x2−a2dx=12aln∣x−ax+a∣+C\int \frac 1{ x^2 - a^2} dx = \frac 1{2a} \ln \left| \frac {x - a }{x + a} \right | + C∫x2−a21dx=2a1ln∣∣∣∣x+ax−a∣∣∣∣+C
- ∫1a2−x2dx=12aln∣x+ax−a∣+C\int \frac 1{a^2 - x^2} dx = \frac 1{2a} \ln \left | \frac {x + a }{x - a } \right | + C∫a2−x21dx=2a1ln∣∣∣∣x−ax+a∣∣∣∣+C
\qquad(这两个公式的特点是:∫1x2−a2dx=−∫1a2−x2dx=−12aln∣x−ax+a∣+C=12aln∣x−ax+a∣−1+C=12aln∣x+ax−a∣+C\int \frac 1{ x^2 - a^2} dx = -\int \frac 1{a^2 - x^2} dx = -\frac 1{2a} \ln \left| \frac {x - a }{x + a} \right | + C = \frac 1{2a} \ln \left| \frac {x - a }{x + a} \right |^{-1} + C = \frac 1{2a} \ln \left | \frac {x + a }{x - a } \right | + C∫x2−a21dx=−∫a2−x21dx=−2a1ln∣∣∣∣x+ax−a∣∣∣∣+C=2a1ln∣∣∣∣x+ax−a∣∣∣∣−1+C=2a1ln∣∣∣∣x−ax+a∣∣∣∣+C) - ∫1a2±x2dx=ln∣x+x2±a2∣+C\int \frac 1{ \sqrt {a^2 \pm x^2}} dx = \ln \left | x + \sqrt { x^2 \pm a^2 } \right | + C∫a2±x21dx=ln∣∣∣x+x2±a2∣∣∣+C
\qquad(这个公式的特点是:前后根号里的数的位置相反,正负号的影响只在根号里)
前后异号的公式
- ∫sinxdx=−cosx+C\int \sin x dx = -\cos x + C∫sinxdx=−cosx+C
- ∫tanxdx=−ln∣cosx∣+C\int \tan xdx = - \ln | \cos x | + C∫tanxdx=−ln∣cosx∣+C
- ∫csc2xdx=−cotx+C\int\csc^2xdx = - \cot x + C∫csc2xdx=−cotx+C
- ∫cscxcotxdx=−cscx+C\int \csc x \cot xdx = - \csc x + C∫cscxcotxdx=−cscx+C
- ∫11−x2=arcsinx+C=−arccosx+C\int \frac1{ \sqrt{ 1-x^ 2} } = \arcsin x + C = - \arccos x + C∫1−x21=arcsinx+C=−arccosx+C
- ∫11+x2=arctan  x+C=−arccot  x+C\int \frac1{1+x^2} = arctan \; x + C = - arccot \; x + C∫1+x21=arctanx+C=−arccotx+C
总结:答案出现余弦,余切,余割,一般都要改正负号
口诀:遇余则反