常用的积分公式

常用的积分公式

1. $$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$$
2. $$\int e^{x}dx=e^x+C$$
3. $$\int x^{\mu }dx=\frac{1}{\mu +1}{x}^{\mu +1}+C(\mu ̸=-1)$$
   \qquad（这个公式特点是：指数加1，作指数和分母）
4. $$\int \sin xdx=-\cos x+C$$
5. $$\int \cos xdx=\sin x+C$$
   \qquad（这两个公式特点是：正弦余弦互换）
6. $$\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C$$
7. $$\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C$$
   \qquad（这两个公式的特点是：正变余，切变弦）
8. $$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$$
9. $$\int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x|+C$$
   \qquad（这两个公式的特点是：前后都有相同的函数名，且第二个函数名如正切与正割的关系是同正，割变切。）
10. $$\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$$
11. $$\int \sec x\tan xdx=\sec x+C$$
12. $$\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$$
13. $$\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C$$
    \qquad（这四个公式的特点是：分为两个一组时，两个的前面的形式很相似，但是又有所不同）
14. $$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C$$
15. $$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin \frac{x}{a}+C$$
16. $$\int \frac{1}{1+x^2}=arctanx+C=-arccotx+C$$
17. $$\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$$
    \qquad（这四个公式的特点是：得到的结果都有反函数，且分为两个一组时，后者是前者的更一般情况）
18. $$\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$$
19. $$\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x+a}{x-a}\right|+C$$
    \qquad（这两个公式的特点是：$$\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=-\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=-\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C=\frac{1}{2a}\ln {\left|\frac{x-a}{x+a}\right|}^{-1}+C=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x+a}{x-a}\right|+C$$）
20. $$\int \frac{1}{\sqrt{a^2\pm x^2}}dx=\ln \left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C$$
    \qquad（这个公式的特点是：前后根号里的数的位置相反，正负号的影响只在根号里）

前后异号的公式

1. $$\int \sin xdx=-\cos x+C$$
2. $$\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C$$
3. $$\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$$
4. $$\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C$$
5. $$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C$$
6. $$\int \frac{1}{1+x^2}=arctanx+C=-arccotx+C$$
   总结：答案出现余弦，余切，余割，一般都要改正负号
   口诀：遇余则反