常用的积分公式

常用的积分公式

  1. ∫1xdx=ln⁡∣x∣+C\int \frac 1x dx = \ln|x| + Cx1dx=lnx+C
  2. ∫exdx=ex+C\int e^x dx = e^x + Cexdx=ex+C
  3. ∫xμdx=1μ+1xμ+1+C  (μ̸=−1)\int x^ \mu dx = \frac1{\mu + 1} x^{ \mu + 1} + C \; (\mu \not= -1)xμdx=μ+11xμ+1+C(μ̸=1)
    \qquad这个公式特点是:指数加1,作指数和分母
  4. ∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C\int \sin x dx = -\cos x + Csinxdx=cosx+C
  5. ∫cos⁡xdx=sin⁡x+C\int \cos x dx = \sin x + Ccosxdx=sinx+C
    \qquad这两个公式特点是:正弦余弦互换
  6. ∫tan⁡xdx=−ln⁡∣cos⁡x∣+C\int \tan xdx = - \ln | \cos x | + Ctanxdx=lncosx+C
  7. ∫cot⁡xdx=ln⁡∣sin⁡x∣+C\int \cot xdx = \ln | \sin x | + Ccotxdx=lnsinx+C
    \qquad这两个公式的特点是:正变余,切变弦
  8. ∫sec⁡xdx=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C\int \sec xdx = \ln | \sec x + \tan x | + Csecxdx=lnsecx+tanx+C
  9. ∫csc⁡xdx=ln⁡∣csc⁡x−cot⁡x∣+C\int \csc xdx = \ln | \csc x - \cot x | + Ccscxdx=lncscxcotx+C
    \qquad这两个公式的特点是:前后都有相同的函数名,且第二个函数名如正切与正割的关系是同正,割变切。
  10. ∫sec⁡2xdx=tan⁡x+C\int \sec^2 x dx = \tan x + Csec2xdx=tanx+C
  11. ∫sec⁡xtan⁡xdx=sec⁡x+C\int \sec x \tan xdx = \sec x + Csecxtanxdx=secx+C
  12. ∫csc⁡2xdx=−cot⁡x+C\int\csc^2xdx = - \cot x+ Ccsc2xdx=cotx+C
  13. ∫csc⁡xcot⁡xdx=−csc⁡x+C\int \csc x \cot xdx = - \csc x + Ccscxcotxdx=cscx+C
    \qquad这四个公式的特点是:分为两个一组时,两个的前面的形式很相似,但是又有所不同
  14. ∫11−x2=arcsin⁡x+C=−arccos⁡x+C\int \frac1{ \sqrt{ 1-x^ 2} } = \arcsin x + C = - \arccos x + C1x21=arcsinx+C=arccosx+C
  15. ∫1a2−x2dx=arcsin⁡xa+C\int \frac 1{ \sqrt {a^2 - x^2 } } dx = \arcsin \frac xa + Ca2x21dx=arcsinax+C
  16. ∫11+x2=arctan  x+C=−arccot  x+C\int \frac1{1+x^2} = arctan \; x + C = - arccot \; x + C1+x21=arctanx+C=arccotx+C
  17. ∫1a2+x2dx=1aarctan⁡xa+C\int \frac 1{ a^2 + x^2} dx = {\frac 1a} \arctan { \frac xa } + Ca2+x21dx=a1arctanax+C
    \qquad这四个公式的特点是:得到的结果都有反函数,且分为两个一组时,后者是前者的更一般情况
  18. ∫1x2−a2dx=12aln⁡∣x−ax+a∣+C\int \frac 1{ x^2 - a^2} dx = \frac 1{2a} \ln \left| \frac {x - a }{x + a} \right | + Cx2a21dx=2a1lnx+axa+C
  19. ∫1a2−x2dx=12aln⁡∣x+ax−a∣+C\int \frac 1{a^2 - x^2} dx = \frac 1{2a} \ln \left | \frac {x + a }{x - a } \right | + Ca2x21dx=2a1lnxax+a+C
    \qquad这两个公式的特点是:∫1x2−a2dx=−∫1a2−x2dx=−12aln⁡∣x−ax+a∣+C=12aln⁡∣x−ax+a∣−1+C=12aln⁡∣x+ax−a∣+C\int \frac 1{ x^2 - a^2} dx = -\int \frac 1{a^2 - x^2} dx = -\frac 1{2a} \ln \left| \frac {x - a }{x + a} \right | + C = \frac 1{2a} \ln \left| \frac {x - a }{x + a} \right |^{-1} + C = \frac 1{2a} \ln \left | \frac {x + a }{x - a } \right | + Cx2a21dx=a2x21dx=2a1lnx+axa+C=2a1lnx+axa1+C=2a1lnxax+a+C
  20. ∫1a2±x2dx=ln⁡∣x+x2±a2∣+C\int \frac 1{ \sqrt {a^2 \pm x^2}} dx = \ln \left | x + \sqrt { x^2 \pm a^2 } \right | + Ca2±x21dx=lnx+x2±a2+C
    \qquad这个公式的特点是:前后根号里的数的位置相反,正负号的影响只在根号里

前后异号的公式

  1. ∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C\int \sin x dx = -\cos x + Csinxdx=cosx+C
  2. ∫tan⁡xdx=−ln⁡∣cos⁡x∣+C\int \tan xdx = - \ln | \cos x | + Ctanxdx=lncosx+C
  3. ∫csc⁡2xdx=−cot⁡x+C\int\csc^2xdx = - \cot x + Ccsc2xdx=cotx+C
  4. ∫csc⁡xcot⁡xdx=−csc⁡x+C\int \csc x \cot xdx = - \csc x + Ccscxcotxdx=cscx+C
  5. ∫11−x2=arcsin⁡x+C=−arccos⁡x+C\int \frac1{ \sqrt{ 1-x^ 2} } = \arcsin x + C = - \arccos x + C1x21=arcsinx+C=arccosx+C
  6. ∫11+x2=arctan  x+C=−arccot  x+C\int \frac1{1+x^2} = arctan \; x + C = - arccot \; x + C1+x21=arctanx+C=arccotx+C
    总结:答案出现余弦,余切,余割,一般都要改正负号
    口诀:遇余则反
评论 2
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值