求不定积分的系列题型（一）

最新推荐文章于 2022-03-29 20:42:14 发布

暖阳冷月海无涯

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求不定积分的系列题型（一）

分式型：两种思路

<1> 分子化为 $“ 1 ”$ $  \;\;$ <2>消分母

1. $ \;$ 分子化为 $“ 1 ”$ （一）

例 1 $\quad$ 求 $∫1+x+x2x(1+x2)dx\displaystyle\int \frac {1 + x + x^ 2 } { x (1 + x^2 )} dx$
$\quad$
解： $∫1+x+x2x(1+x2)dx=∫x+(1+x2)x(1+x2)dx=∫(11+x2+1x)dx=∫11+x2dx+∫1xdx=arctan⁡x+ln⁡∣x∣+C\displaystyle \int \frac {1 + x + x^ 2 } { x (1 + x^2 )} dx\\ \quad \\ = \displaystyle \int \frac { x + (1 + x^2 ) } {x (1 + x^2) } dx\\ \quad \\ = \displaystyle \int \left ( \frac 1{ 1 + x^2 } + \frac 1x \right ) dx\\ \quad \\ = \int \frac 1{1 + x^2} dx + \int \frac 1x dx \\ \quad \\ = \arctan x + \ln |x | + C$
$\quad$
( 注：此类型的特点：分母为乘积形式 $x (1 + x^2)$ ，通过合理拆分分子，使分子分成，可以和分母约分的两部分。）
$\quad$
例 2 $\quad$ 求 $∫x4x2+1dx\displaystyle \int \frac {x^4} {x^2 + 1} dx$
解： $∫x4x2+1dx=∫x4−1+1x2+1dx=∫(x2−1+1x2+1)dx=∫11+x2dx+∫1xdx=arctan⁡x+ln⁡∣x∣+C\quad \\ \quad \displaystyle \int \frac {x^4} {x^2 + 1} dx \\ \quad \\ =\displaystyle \int \frac {x^4 -1 + 1 } {x^2 + 1 } dx \\ \quad \\ = \displaystyle \int ( x^2 - 1 + \frac 1{x^2 + 1 } ) dx \\ \quad \\ = \displaystyle \int \frac 1{ 1 + x^2 } dx + \int \frac 1x dx \\ \quad \\ = \displaystyle \arctan x + \ln |x | + C$
$\quad$
( 注：此类型的特点：分子的最高指数是分母最高指数的两倍，可以先对分子进行配凑，再利用平方差公式，即可解题。）
$\quad$
例 3 $\quad$ 求 $∫cos⁡2xcos⁡2x⋅sin⁡2xdx\displaystyle \int \frac {\cos 2x} {\cos^2 x \cdot \sin^2 x} dx$
$\quad$
解： $∫cos⁡2xcos⁡2x⋅sin⁡2xdx\displaystyle \int \frac {\cos 2x} {\cos^2 x \cdot \sin^2 x} dx$
$\quad$
$\displaystyle \int \frac {\cos^2 x - \sin^2 x} {\cos^2 \cdot \sin^2 x} dx \\ \quad \\ = \displaystyle \int \frac 1{\sin^2 x} dx - \int \frac 1{\cos^2 x} \\ \quad \\ = - \cot x - \tan x + C$
（注：此类型的特点：可以利用二倍角公式把分子展开，即可将分子化为1，从而解题。）