第十一届蓝桥杯 2020年省赛真题 (C/C++ 大学A组) 第一场

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  打发时间。

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#A 跑步训练

本题总分：$5$ 分

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问题描述

  小明要做一个跑步训练。
  初始时，小明充满体力，体力值计为 $10000$。如果小明跑步，每分钟损耗 $600$ 的体力。如果小明休息，每分钟增加 $300$ 的体力。体力的损耗和增加都是均匀变化的。
  小明打算跑一分钟、休息一分钟、再跑一分钟、再休息一分钟 …… 如此循环。如果某个时刻小明的体力到达 $0$，他就停止锻炼。
  请问小明在多久后停止锻炼。为了使答案为整数，请以秒为单位输出答案。答案中只填写数，不填写单位。

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答案提交

  这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

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3880

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#include <stdio.h>

int N = 10000, k = 5, ans = 0, K[2]{
    1, -1};

int main() {
   
	for (int opt = 1; N > 0; opt ^= 1)
		for (int i = 0; i < 60 && N > 0; i++)
			N += K[opt] * (opt + 1) * k, ++ans;
	if (N < 0) --ans;
	printf("%d", ans);
}

  简单的模拟题。

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#B 合并检测

本题总分：$5$ 分

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问题描述

  新冠疫情由新冠病毒引起，最近在 $\mathrm{A}$ 国蔓延，为了尽快控制疫情，$\mathrm{A}$ 国准备给大量民众进病毒核酸检测。
  然而，用于检测的试剂盒紧缺。
  为了解决这一困难，科学家想了一个办法：合并检测。即将从多个人（ $k$ 个）采集的标本放到同一个试剂盒中进行检测。如果结果为阴性，则说明这 $k$ 个人都是阴性，用一个试剂盒完成了 $k$ 个人的检测。如果结果为阳性，则说明至少有一个人为阳性，需要将这 $k$ 个人的样本全部重新独立检测（从理论上看，如果检测前 $k-1$ 个人都是阴性可以推断出第 $k$ 个人是阳性，但是在实际操作中不会利用此推断，而是将 $k$ 个人独立检测），加上最开始的合并检测，一共使用了 $k+1$ 个试剂盒完成了 $k$ 个人的检测。
  $\mathrm{A}$ 国估计被测的民众的感染率大概是 $1$%，呈均匀分布。请问 $k$ 取多少能最节省试剂盒？

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答案提交

  这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

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10

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朴素解法

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#include <stdio.h>

int N = 10000, ans = 100;

int calc(int k) {
    return N / k + N / 100 * k; }

int main() {
   
	for (int i = 1; i < 100; ++i)
		if (calc(i) < calc(ans)) ans = i;
	printf("%d", ans);
}

  设 $N$ 为民众人数，然后暴力枚举 $[1,100)$ 这个区间就行，因为 $k\ge 100$ 时，每个人都要重新做一遍检测，答案必不优。

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数理分析

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  感染人数呈均匀分布，即 p { θ = 某 民 感 染 } = 1 100 p\{\theta = 某民感染\} = \frac 1{100} p{ θ=某民感染}=1001​、 p { θ = 某 民 健 康 } = 99 100 p\{\theta = 某民健康\} = \frac {99}{100} p{ θ=某民健康}=10099​，

  $k$ 名群众中无有感染者，可以看作为 $k$ 重伯努利试验，其中有感染者的概率为 $\sum _{i=1}^k\left(C_k^i(\frac{1}{100}{)}^i(\frac{99}{100}{)}^{k-i}\right)$，也就说，当 $k$ 取定时，只有 $(\frac{99}{100}{)}^k$ 的分组不用重新检测，所用的试剂盒个数为 $\frac{N}{k}+N(1-(\frac{99}{100}{)}^k)$。

  设函数 $f(x)=\frac{N}{x}+N(1-(\frac{99}{100}{)}^x)$，$N$ 为一个较大常数，$f^{\prime }(x)=-\frac{N}{x^2}-N\ln$