实变函数自制笔记6：初识可测函数

最新推荐文章于 2025-05-07 12:20:47 发布

绿镇

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分类专栏：实变函数文章标签：数学

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1、可测函数及其与简单函数的联系：

可测函数：若 $f\left ( x \right )$ 为定义在可测集 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 上的广义实值函数，若 $\forall a\in \mathbb{R}$ ，点集 $E\left \{ f(x)>a \right \}= \left \{ x\mid x\in E,f(x)>a \right \}$ 为可测集，则 $f\left ( x \right )$ 为 $E$ 上的可测函数， $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上可测；
简单函数：可测集 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 可以分为有限个不相交的的可测集 $E_{1},E_{2},\cdots ,E_{n}$ ，且 $\bigcup_{i=1}^{n}E_{i}=E$ ，若函数在每个可测集 $E_{i}$ 上取值都为常数 $C_{i}$ ，则称 $E$ 上的函数 $\psi \left ( x \right )=C_{i}\left (x\in E_{i} \right )$ 为简单函数；
特征函数：对于集合 $E$ ，其特征函数为 $\chi _{E}\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} 1, & x\in E\\ 0, & x\notin E \end{matrix}\right.$ ；则简单函数可以表示为 $\psi \left ( x \right )=\sum_{i=1}^{n}C_{i}\chi _{E_{i}}\left ( x \right )$ ；特别地，当每个 $E_{i}$ 是矩体时，称 $\psi \left ( x \right )$ 为阶梯函数；
实值函数的正负部分解： $f^{+}\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} f\left ( x \right ), &f\left ( x \right )\geqslant 0 \\0, & f\left ( x \right )< 0\end{matrix}\right.$ ； $f^{-}\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} -f\left ( x \right ), &f\left ( x \right )< 0 \\0, & f\left ( x \right )\geqslant 0\end{matrix}\right.$ ；则 $f=f^{+}-f^{-},\left |f \right |=f^{+}+f^{-}$ ；
可测函数的相关定理：

对于可测集 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ ， $E$ 上的简单函数 $\psi \left ( x \right )$ 是可测的；
（简单函数逼近定理1）若 $f\left ( x \right )$ 为定义在可测集 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 上的非负函数，则有： $f\left ( x \right )$ 在 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 上非负可测 $\Leftrightarrow \exists E$ 上的非负渐增的简单函数列 $\left \{ \psi _{m}\left ( x \right ) \right \}\left ( 0\leq \psi _{1}\left ( x \right ) \leq \psi _{2}\left ( x \right )\leq\cdots \leq \psi _{m}\left ( x \right )\leq \cdots \right )$ ，有 $f\left ( x \right )=\lim_{m\rightarrow \infty }\psi _{m}\left ( x \right ),x\in E$ ；
（简单函数逼近定理2）若 $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上可测，则 $\exists \left \{ \psi _{m}\left ( x \right ) \right \}$ 为可测简单函数列，使得 $\left | \psi _{m}\left ( x \right ) \right |\leqslant \left | f\left ( x \right ) \right |$ ，且有 $f\left ( x \right )=\lim_{m\rightarrow \infty }\psi _{m}\left ( x \right ),x\in E$ ；
$f\left ( x \right )$ 可测 $\Leftrightarrow f^{+},f^{-}$ 都是可测函数；
若 $f\left ( x \right )$ 为定义在可测集 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 上的函数，则有： $f\left ( x \right )$ 在 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 上可测当且仅当以下条件之一成立：
1. $\forall a\in \mathbb{R},\left \{ x\mid x\in E,f(x)\geqslant a \right \}=\bigcap_{k=1}^{\infty }\left \{ x\mid x\in E,f(x)>a-\frac{1}{k} \right \}$ 可测；
2. $\forall a\in \mathbb{R},\left \{ x\mid x\in E,f(x)< a \right \}=E-\left \{ x\mid x\in E,f(x)\geqslant a \right \}$ 可测；
3. $\forall a\in \mathbb{R},\left \{ x\mid x\in E,f(x)\leqslant a \right \}=E-\left \{ x\mid x\in E,f(x)> a \right \}$ 可测；
4. $\forall a\in \mathbb{R},\left \{ x\mid x\in E,f(x)= a \right \}=\left \{ x\mid x\in E,f(x)\geqslant a \right \} \cap \left \{ x\mid x\in E,f(x)\leqslant a \right \}$ 可测；
5. $\left \{ x\mid x\in E,f(x)< +\infty \right \}=\bigcup_{k=1}^{\infty } \left \{ x\mid x\in E,f(x)< k \right \}$ 可测；
6. $\left \{ x\mid x\in E,f(x)= +\infty \right \}=E- \left \{ x\mid x\in E,f(x)< +\infty \right \}$ 可测；
7. $\left \{ x\mid x\in E,f(x)>-\infty \right \}=\bigcup_{k=1}^{\infty } \left \{ x\mid x\in E,f(x)>- k \right \}$ 可测；
8. $\left \{ x\mid x\in E,f(x)= -\infty \right \}=E- \left \{ x\mid x\in E,f(x)>-\infty \right \}$ 可测；
若 $f\left ( x \right )$ 为定义在可测集 $E_{1}\cup E_{2}\subset \mathbb{R}^{n}$ 上的广义实值函数，则 $f\left ( x \right )$ 在 $E_{1},E_{2}$ 上均可测 $\Leftrightarrow f\left ( x \right )$ 在 $E_{1}\cup E_{2}$ 上可测；
若 $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上可测， $A$ 是 $E$ 中的可测集，则 $f\left ( x \right )$ 看做是在 $A$ 上的函数，在 $A$ 上也是可测的；

2、几乎处处类概念：

几乎处处成立/是真的 $P\left ( x \right ),\textup{a.e. } x\in E$ ：已知可测集 $E$ ，而 $P\left ( x \right )$ 为与这个可测集 $E$ 中的点 $x$ 有关的命题；若除了 $E$ 中的一个零测集外 $P\left ( x \right )$ 均成立，则称 $P\left ( x \right )$ 在 $E$ 上几乎处处成立/是真的；
对等/几乎处处相等 $f\left ( x \right )=g\left ( x \right ),\textup{a.e. }x\in E$ ：已知 $f\left ( x \right ),g\left ( x \right )$ 为 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 上的可测函数，若 $m\left \{ x\mid x\in E,f\left ( x \right )\neq g\left ( x \right ) \right \}=0$ ，则称 $f\left ( x \right ),g\left ( x \right )$ 在 $E$ 上几乎处处相等；
几乎处处有限的 $\left | f\left ( x \right ) \right |< \infty ,\textup{a.e. }x\in E$ ：已知 $f\left ( x \right )$ 为 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 上的可测函数，若 $m\left \{ x\mid x\in E,\left |f\left ( x \right ) \right |=+\infty \right \}=0$ ，则称 $f\left ( x \right ),g\left ( x \right )$ 在 $E$ 上是几乎处处有限的；
几乎处处收敛 $f_{k}\left ( x \right )\rightarrow f\left ( x \right ),\textup{a.e. }x\in E$ ：已知 $f\left ( x \right ),f_{1}\left ( x \right ),f_{2}\left ( x \right ),\cdots ,f_{k}\left ( x \right ),\cdots$ 为 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 上的广义实值函数，若满足 $\exists E_{0}\subset E,m\left ( E_{0} \right )=0$ 和 $\forall x\in E-E_{0},\lim_{k\rightarrow \infty }f_{k}\left ( x \right )=f\left ( x \right )$ 两个条件，则称 $\left \{ f_{k}\left ( x \right ) \right \}$ 在 $E$ 上是几乎处处收敛于 $f\left ( x \right )$ ；

3、可测函数的基本性质：

若 $f\left ( x \right )=g\left ( x \right ),\textup{a.e. }x\in E$ ，则 $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上可测时， $g\left ( x \right )$ 也在 $E$ 上可测；
若 $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上可测， $E_{0}$ 是 $E$ 的可测子集，则 $f\left ( x \right )$ 在 $E_{0}$ 上可测；
若 $f\left ( x \right )$ 在 $E_{i}\left ( i=1,2,\cdots \right )$ 上可测，则 $f\left ( x \right )$ 在 $\bigcup_{i=1}^{\infty }E_{i}$ 上可测；
若 $f\left ( x \right ),g\left ( x \right )$ 为 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 上的可测函数，则满足以下性质：
1. $cf\left ( x \right )\left ( c\in \mathbb{R} \right )$ 在 $E$ 上可测；
2. 若 $f\left ( x \right )+g\left ( x \right )$ 在 $E$ 上几乎处处有意义时， $f\left ( x \right )+g\left ( x \right )$ 在 $E$ 上可测；
3. 若 $f\left ( x \right )g\left ( x \right )$ 在 $E$ 上几乎处处有意义时， $f\left ( x \right )g\left ( x \right )$ 在 $E$ 上可测；
4. 若 $\frac{f\left ( x \right )}{g\left ( x \right )}$ 在 $E$ 上几乎处处有意义时， $\frac{f\left ( x \right )}{g\left ( x \right )}$ 在 $E$ 上可测；
若 $\left \{ f_{k}\left ( x \right ) \right \}$ 为 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 上的可测函数列，则 $\sup_{k\geqslant 1}\left \{ f_{k}\left ( x \right ) \right \},\inf_{k\geqslant 1}\left \{ f_{k}\left ( x \right ) \right \},\varlimsup_{k\rightarrow \infty }f_{k}\left ( x \right ),\varliminf_{k\rightarrow \infty }f_{k}\left ( x \right )$ 均在 $E$ 上可测；
若 $\left \{ f_{k}\left ( x \right ) \right \}$ 为 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 上的可测函数列，且 $f_{k}\left ( x \right )\rightarrow f\left ( x \right ),\textup{a.e. }x\in E$ ，则 $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上可测；
$f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上可测 $\Leftrightarrow f^{+},f^{-}$ 均在 $E$ 上可测；
$f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上可测 $\Rightarrow \left | f\left ( x \right ) \right |$ 在 $E$ 上可测；