实变函数自制笔记3：集合的势

最新推荐文章于 2024-06-14 21:36:28 发布

绿镇

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分类专栏：实变函数文章标签：数学

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本文概述了集合论中的势与基数概念，介绍了康托-伯恩斯坦定理，区分了可数集与不可数集，重点讲解了连续统假设和实数集的连续势。讨论了相关定理如连续统问题、连续势的性质以及可数集的特性，揭示了集合间势的复杂性与未解难题。

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1、势的定义与康托-伯恩斯坦（Cantor-Bernstein）定理：

背景：对于集合所含元素的个数，有限个元素构成的集合（以下简称“有限集”，对应的有“无限集”）自然方便数出来个数，而且两个有限集所含元素个数也便于比较多少；但对于无穷集，它们的“个数”是没有意义的，但两个不同的无限集之间是有差别的。为了方便集合的数量比较，我们需要看两个集合元素之间是否能建立一种一一对应的关系，如果能，两个集合便具有相同的数量；
两个集合对等 $A\sim B$ 或 $\overset{=}A=\overset{=}B$ 或 $\left | A \right |=\left | B \right |$ ：已知集合 $A$ 、 $B$ ，若存在 $A$ 到 $B$ 的一一映射 $\varphi :A\rightarrow B$ （即 $A$ 中的任一元素，通过这个映射/函数 $\varphi$ 与 $B$ 中的唯一元素相对应；反过来， $B$ 中的任一元素， $A$ 中有唯一的元素通过这个映射/函数 $\varphi$ 与之相对应）。两个集合 $A$ 、 $B$ 对等也称作 $A$ 、 $B$ 势相同或者基数相同； $\varphi$ 称为 $A$ 、 $B$ 之间的1-1对应；
对等关系的基本性质： $A\sim A$ ； $A\sim B\Rightarrow B\sim A$ ； $A\sim B,B\sim C\Rightarrow A\sim C$ ；
康托-伯恩斯坦定理：若集合 $A$ 与 $B$ 的某个子集对等，集合 $B$ 与 $A$ 的某个子集对等，则 $A\sim B$ ；
定理的拓展：根据定理的一番解释，大概简化出来就是 $\overset{=}A\leqslant \overset{=}B,\overset{=}B\leqslant \overset{=}A\Rightarrow \overset{=}A=\overset{=}B$ ，当然这个思路仅供于理解，因为至今还无法证明出两个集合的势是可以比较大小的，在集合论里需要策梅洛（Zermelo）选择公理（简称AC）才能进行两个集合势的大小比较；定理的其他拓展有： $A\subset B\subset C,A\sim C\Rightarrow A\sim B,B\sim C$ ；
幂集 $\wp \left ( A \right )$ 或 $\bold 2^{A}$ ：当 $A$ 为非空集合时，由 $A$ 的一切子集（包括空集 $\varnothing$ 和 $A$ 本身）为元素构成的集合；那么 $n$ 个元素构成的集合 $E$ 对应的 $\wp \left ( E \right )$ 共有 $2^{n}$ 个元素；且在ZFC（策梅洛-弗兰克尔（Zermelo-Fraenkel）集合论（含策梅洛选择公理时简称ZFC，不含策梅洛选择公理时简称ZF））中，有康托（Cantor）定理： $\overset{=}A< \overset{=}{\bold 2^{A}}$ ；

2、可数集与不可数集：

背景：根据上文里集合对等的描述，我们可以将有限集和无限集的定义进行完善，之后我们介绍无限集里一些重要且常见的势；
有限集：存在自然数 $n$ ，与 $\left \{ 1,2,\cdots ,n \right \}$ 对等的集合；即有限集的势就是集合中元素的数目；
无限集：一个集合不是有限集就是无限集，即无限集 $A$ 满足 $\forall n\in \mathbb{N},B=\left \{ 1,2,\cdots ,n \right \},\overset{=}A\neq \overset{=}B$ ；无限集里重要且常见的就是自然数集 $\mathbb{N}$ 和实数集 $\mathbb{R}$ ；
可数集/可列集：与自然数集 $\mathbb{N}$ 对等的集合，其基数为 $\aleph_{0}$ 或 $C_{0}$ ；除此之外，为可数集的集合还有 $\mathbb{Z}$ 、 $\mathbb{Q}$ 、 $\left \{ a_{n} \right \}$ 、 $\left \{ a_{2n} \right \}$ 、 $\left \{ a_{2n+1} \right \}$ 、 $\left \{ \frac{m}{n} \right \}$ 等；
有限集、可数集的相关定理：

任何无穷集都包含一个可数子集（根据该定理，众多无限集的最小基数是 $\aleph_{0}$ ）；
可数集的无穷子集仍然是可数集；
$A$ 是可数集， $B$ 是有限集或可数集 $\Rightarrow A\cup B$ 为可数集（由此明显知有限个可数集的并为可数集）；
有限个有限集的并为有限集；
可数个有限集的并至多是可数集（至多是可数集指的是可数集或者有限集）；
可数个可数集的并为可数集（即当 $A_{n}\left ( n=1,2,\cdots \right )$ 为可数集时， $A=\bigcup_{n=1}^{\infty }A_{n}$ 为可数集）；
有理数集 $\mathbb{Q}$ 为可数集，即 $\overset{=}{\mathbb{Q}}=\aleph_{0}$ （证明只需要指出正有理数集 $\mathbb{Q}_{+}=\left \{ \frac{p}{q} \right \}$ 为可数集即可）；
$A$ 是无穷集， $B$ 是有限集或可数集， $C= A\cup B\Rightarrow \overset{=}C=\overset{=}A$ ；
$A$ 是无穷集 $\Leftrightarrow A$ 与其真子集对等；

连续势/连续基数 $\aleph_{1}$ 或 $C$ 或 $c$ ：与实数集 $\mathbb{R}$ 对等的集合所具有的势/基数；明显的有 $\overset{=}{\mathbb{R}} =\aleph_{1}=c$ ；除此之外，具有连续势的集合还有 $\left ( a,b \right )$ 、 $\left [ a,b \right ]$ ；
连续势的相关定理：

已知集合列 $\left \{ A_{i} \right \}\left ( i=1,2,\cdots \right )$ ，有 $\overset{=}{A_{i}}\leqslant c$ ，且存在正整数 $k$ 使得 $\overset{=}{A_{k}}=c$ ，则 $\bigcup_{i=1}^{\infty }A_{i}$ 的势为 $c$ ；
$\overset{=}{\mathbb{R}}^{n}=\overset{=}{\mathbb{R}}^{\infty }=c$ ，其中 $\overset{=}{\mathbb{R}}^{\infty }$ 为可数个 $\mathbb{R}$ 的笛卡尔乘积/直积（ $A$ 与 $B$ 的直积集 $A\times B=\left \{ \left ( a,b \right ):a\in A,b\in B \right \}$ ）；
由 $p,q\left ( p\neq q \right )$ 元素组成的所有可能的序列集合具有连续势；
$A$ 为可数集 $\Rightarrow \overset{=}{\bold 2^{A}}=c$ （可数集的幂集具有连续势）；

3、连续统假设：

背景：通过上文我们可知 $\overset{=}{\mathbb{N}}< \overset{=}{\mathbb{R}}$ ，即 $\aleph_{0}<\aleph_{1}$ 或写成 $C_{0}<C$ ；那会不会存在集合 $A$ ，满足 $\aleph_{0}<\overset{=}{A}<\aleph_{1}$ ？这个问题至今未能解决；
康托的连续统基数问题：康托未能解决这个问题，故而他猜测这个 $A$ 不存在，这就是连续统假设（简称CH），也称作希尔伯特（Hilbert）第一问题；连续统假设等价于： $\bold 2^{\aleph_{0}}=\aleph_{1}$ ；这个假设至今未能证明出，但大家普遍承认并将其作为集合论的一条公理；